Описание степенных функций: виды, свойства, графики

Степенная функция и ее свойства

называется степенной функцией с натуральным показателем.

При n=1 получаем функцию вида у = х

Рассмотрим свойства функции у = kx :

1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
2. Область значения — E(f)=(0; +∞).
3. Нечетная, так как f( — kх) = k ( — х)= — kx = -f(x)
4. При k > 0 функция возрастает, а при k функция убывает на всей числовой прямой.

График линейной функции y=x

При n=2 получаем функцию вида у = х 2 — эта функция называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у =х 2 :

1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
2. Область значения E(f) y∈[0; +∞) .
3. Чётная, так как f( — х) = ( — x) 2 = x 2 = f (х)
4. На промежутке (—∞; 0] функция убывает, а на промежутке [0; +∞) функция возрастает.
5. Корень x=0
6. Экстремумы функции — min при x=0.

График параболы y=x 2

При n=3 получаем функцию вида у = х 3 — эта функция называется кубической параболой.

Рассмотрим свойства функции у = х 3 :

1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
2. Область значения — E(f)=(-∞; +∞).
3. Нечётная, так как f( — х) = ( — x) 3 = —x 3 = —f (х)
4. Функция возрастает на всей числовой прямой.
5. Корень x=0
6. Экстремумов нет.

График кубической параболы y=x 3

Если n>2 и произвольное четное натуральное число (n=4, 6, 8,… .), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция у=х 2 и график функции напоминает параболу.

Если n>3 и произвольное нечетное натуральное число (n=5, 7, 9,… .), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция у=х 3 и график функции напоминает кубическую параболу.

Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Степенная функция вида:

называется степенной функцией с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим функции при n=1 и n=2 .

При n=1 получаем функцию вида $y = frac$ — эта функция называется гиперболой.

Рассмотрим свойства функции $y = frac$:

1. Область определения — D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Область значения — E(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
3. Нечётная, так как f( — х) = k/( — x) = —k/x = —f (х)
4. При k > 0 на промежутке (-∞; 0)∪(0; +∞) функция убывает, а при k на промежутке (-∞; 0)∪(0; +∞) функция возрастает.
5. Экстремумов нет.

График гиперболы $y = frac<1>$

При n=2 и k=1 получаем функцию вида $y = frac<1><<>>$ .

Рассмотрим свойства функции $y = frac<1><<>>$:

1. Область определения — D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Область значения — E(f)=(0; +∞).
3. Чётная.
4. Функция убывает на промежутке (0; +∞) и возрастает на промежутке (-∞; 0) .

График функции $y = frac<1><<>>$

Рассмотрим элементарную функцию с корнем $y = sqrt x $

Свойства функции $y = sqrt x $:

1. Область определения — D(f)=[0; +∞).
2. Область значения — E(f)=[0; +∞).
3. Функция ни чётная, ни нечётная.
4. Функция возрастает на [0; +∞) .
5. Экстремумов нет.
6. Корень x=0
7. Экстремумы функции — min при x=0.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 19

Степенная функция, ее свойства и графики

Формулы со степенной функцией

На области определения степенной функции y = x p имеют место следующие формулы:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства степенных функций и их графики

Далее мы рассматриваем степенную функцию
y ( x ) = x p .

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0 , то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, . – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, . .

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1 , функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1 , обратной функцией является корень степени n :

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, . .

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1 , y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2 , квадратный корень:
при n ≠ 2 , корень степени n :

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, . . Если положить n = –k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, . .

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –1 ,
при n ,

Четный показатель, n = -2, -4, -6, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –2 ,
при n ,

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя – нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, . . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p m = 3, 5, 7, . ) меньше нуля: .

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . – нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, .

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, . – нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, . – четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0

График степенной функции с рациональным показателем ( 0 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . – нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 1, 3, 5, . – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вниз
при x > 0 : выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 2, 4, 6, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно убывает
при x > 0 : монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции с рациональным показателем ( p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . – нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1″ style=”width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position:-346px -53px”> . Где n = 5, 7, 9, . – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 4, 6, 8, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1″ style=”width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position:-346px -53px”> . Где n = 4, 6, 8, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Знаменатель дробного показателя – четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, . . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p .

Степенная функция с отрицательным показателем p x > 0
Множество значений: y > 0
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы: ;
Частное значение: При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Показатель больше единицы p > 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-08-2014 Изменено: 14-12-2018

Свойства степенных функций, построение графиков

• Степенная функция — что это такое
• Виды и их свойства, область определения
• Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем
• Как строить графики степенных функций
• Задачи со степенной функцией

Степенная функция — что это такое

К степенным функциям в теории относятся следующие виды:

• линейная функция (y = kx + b) ;
• квадратичная парабола (y = x^<2>) (в общем виде: (y = ax^ <2>+ bx + c)) ;
• кубическая парабола (y = x^<3>) ;
• гипербола (y = frac<1>) , которую можно представить в виде ( y = x^<-1>😉
• функция (y =sqrt) , так как (sqrt = x^<2>>.)

В качестве примера можно рассмотреть описание функции: (y=x^>) . В первую очередь следует проанализировать функции с показателем степени (frac>1) . Например, задана некая функция:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из обозначения, при x≥0, область определения рассматриваемой функции – это луч [0;+∞).

Далее следует записать таблицу значений:

Затем можно сравнить несколько степенных функции следующим способом:

Число 2,5 находится между 2 и 3. В таком случае можно предположить, что и график рассматриваемой функции расположен между соответствующими графиками. Можно представить разные характеристики х, чтобы сравнить значения функций, которые зависят от x:

При (0 , получается (x^6 , но и выполняется (sqrt или (x^3

При (x>1) , получается (x^4 , но и выполняется (sqrt или (x^2

Все графики целесообразно построить на одном рисунке. В первом случае (0 :

В данном случае синий цвет соответствует функции (y=x^2) ; красный: ( y=x^<2,5>) ; зеленый: (y=x^3) . На следующем этапе нужно построить графики по порядку на всей области определения функции (y=x^<2,5>) . Цвет графиков останется прежним, как и на предыдущем рисунке:

График функции (y=x^>) , ((m>n)) является кривой, которая проходит через точки (0,0) и (1,1), и напоминает ветвь параболы. При увеличении показателя график функции в верхнем положении становится круче.

Линейная функция y = kx + b. Графиком данной функции является прямая линия. Для того, чтобы ее построить, требуется пара точек. При k > 0, линейная функция будет расти. При увеличении k график становится круче. Значение k представляет собой угловой коэффициент прямой и равно тангенсу угла наклона рассматриваемой прямой к положительному направлению оси X:

При использовании k

При k = 0, на графике будет изображена прямая y = b, которая параллельна оси X. В том случае, когда имеет место равенство угловых коэффициентов прямых, прямые будут параллельны друг другу.

Квадратичная функция (y = ax2 + bx + c) представляет собой параболу. Она обладает рядом особенностей:

При a > 0, ветви параболы направлены вверх, при a

Функция (y = x^<3>) является кубической параболой. Можно представить ее на рисунке, а также функции ( y = x^<4>) и (y = x^<5>.)

Можно отметить, что функции (y = x^<2>) и (y = x^<4>) обладают некоторыми сходствами. Графики являются симметричными по отношению к оси Y. В данном случае можно сказать, что рассматриваемые функции – четные.

Функция (y = f(x)) является четной, когда:

• область определения функции симметрична относительно нуля;
• каждое значение x из области определения соответствует справедливому равенству (f(−x) = f(x)) .

Графики функций (y = x^<3>) и (y = x^<5>) симметричны по отношению к началу координат. Данные функции являются нечетными.

Функция (y = f(x)) – нечетная, при условии, что:

• область определения функции симметрична относительно нуля;
• любой x из области определения соответствует равенству (f(-x) = -f(x)) .

Функция (small y = frac<1>) в виде гиперболы также представляет собой степенную функцию. Это объясняется тем, что (small frac<1> = x^<-1>) . Так как знаменатель не должен быть равен нулю, рассматриваемая функция не определена при (x = 0) . Гипербола представляет собой нечетную функцию с графиком, который симметричен по отношению к началу координат.

Построение графика функции (small y = sqrt) следует начинать с области определения. Выражение (small sqrt) определено при (x ≥ 0) . Поэтому областью определения функции являются все неотрицательные числа. Также (small y = sqrt) принимает только неотрицательные значения, поскольку (small sqrt ≥ 0.)

Целесообразно воспользоваться данными свойствами в процессе решения уравнений и неравенств. Уравнение вида (small sqrt=g(x)) имеет смысл только при (f(x) ≥ 0) и (g(x) ≥ 0) . Это является областью допустимых значений.

На одном графике можно построить параболу ( y = x^<2>) и функцию (small y = sqrt) . Следует рассмотреть правую ветвь параболы, при (x ≥ 0) . Заметим, что эта часть параболы и график функции (small y = sqrt) словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x.

То, что для одной из них является областью определения, для другой — представляет собой область значений. Данные функции носят название взаимно-обратных.

Виды и их свойства, область определения

Степенные функции обладают рядом специфических свойств, которые могут отличаться в зависимости от их вида. Рассмотрим основные из них.

• D(y)=[0;+∞);
• функцию нельзя отнести ни к четной, ни к нечетной;
• возрастает на [0;+∞);
• не имеет ограничений в верхней части, но ограничена в нижней;
• отсутствует максимальное значение, минимальное значение равно нулю;
• непрерывность;
• E(f)=[0; +∞);
• выпукла вниз.

В качестве примера можно рассмотреть случай, когда показатель степени является правильной дробью, у которой значение числителя меньше, чем знаменателя. График функции ( y=x^>) , ((m>n)) напоминает график функции (y=sqrt[n]) :

• D(y)=[0;+∞);
• нельзя отнести ни к четной, ни к нечетной;
• возрастает на [0;+∞);
• не имеет ограничений сверху, ограничена снизу;
• максимальное значение отсутствует, наименьшее значение равно нулю;
• непрерывность;
• E(f)=[0; +∞);
• выпукла вверх.

Далее следует ознакомиться с графиком функции (y=x^<-frac>) . Можно заметить, что он похож на гиперболу. График обладает двумя асимптотами:

• горизонтальной y=0;
• вертикальной х=0.

График имеет следующий вид:

• D(y)=(0;+∞);
• не является ни четной, ни нечетной;
• убывает на (0;+∞);
• не ограничена в верхней части, обладает ограничением в нижней;
• максимальное значение отсутствует, минимальное – ноль;
• непрерывность;
• E(f)=(0; +∞);
• выпукла вниз.

В том случае, когда x>0, а r – какое-либо рациональное число, производная степенной функции (y=x^r) определяется, согласно формуле:

Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем

Степень действительного числа a, обладающего рациональным показателем n вычисляется, согласно уравнению:

Функция ( f(x)=x^(rin Q)) представляет собой степенную функцию с рациональным показателем.

Степенью числа a, которое является положительным, c иррациональным показателем (alpha) называется выражение вида (a^) со значением, равным пределу последовательности (a^>) , (a^>, a^>) , …, где (alpha_<0>, alpha_<1>, alpha_<2>) являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа (alpha) .

Функция (f(x)=x^(rin J)) представляет собой степенную функцию с иррациональным показателем.

Как строить графики степенных функций

График функции является множеством точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты – соответствующими значениями функции y.

Согласно определению, построить график какой-либо функции можно путем поиска всех пар соответствующих значений аргумента и функции. Как правило, в результате получается бесконечное множество точек, что затрудняет процесс построения графика. В связи с этим требуется исследовать функцию:

• обозначить область определения и область изменения функции;
• найти области ее убывания или возрастания;
• определить асимптоты, интервалы знакопостоянства;
• выявить несколько точек, принадлежащих графику;
• соединить найденные точки плавной кривой.

Задачи со степенной функцией

Необходимо определить максимальное и минимальное значения для функции (y=x^<2>>) на отрезке:

• [1;16];
• (2,10);
• на луче [9;+∞).

Показатель степени рассматриваемой функции обладает положительным значением. В этом случае, учитывая свойства записанной функции, можно заключить, что она возрастает на всей области определения. Таким образом, функция достигает своего максимума и минимума на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках).

На промежутке (2,10) максимальное и минимальное значения функции отсутствуют, в связи с тем, что промежуток является открытым, и точки 0 и 4 к данному интервалу не относятся.

На луче [9;+∞) наибольшее значение отсутствует

Требуется определить максимальное и минимальное значение на отрезке [1;9] для функции:

Вычислим производную рассматриваемой функции:

Так как производная существует на всей области определения исходной функции, можно заключить, что критические точки отсутствуют.

Далее определим стационарные точки:

Заданному отрезку принадлежит только одно решение (x_2=4)

Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:

График функции (y=x^<3>>) будет возрастать, а график функции (у=24-х) – убывать. Известно, что когда одна функция возрастает, а вторая убывает, то будет лишь одна точка, в которой эти функции пересекаются. Следовательно, уравнение обладает всего одним решением. Можно заметить, что:

Таким образом, при х=8 уравнение преобразуется в справедливое равенство: 16=16, что является ответом к задаче.

Необходимо построить график функции с объяснениями: (y=(x-3)^frac<3><4>+2)

График рассматриваемой функции можно получить из графика функции:

Требуется сместить этот график на 3 единицы в правую сторону и на 2 единицы вверх:

Требуется записать уравнение для касательной к прямой (y=x^<-frac<4><5>>) в точке х=1.

Обозначение уравнения касательной:

По условию задачи число a является натуральным числом 1, поэтому:

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №18. Степенная функция. Дробно-линейная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степенной функции;

2) основные свойства функций и ;

3) понятия взаимно обратной и дробно- линейной функций;

4) особенности построения графика дробно-линейной функции.

Глоссарий по теме

Определение. Функция вида , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Функция вида у=х n , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

С некоторыми из таких функций вы уже познакомились в курсе алгебры 7-9 классов Это, например, функции у=х 1 =х, у=х 2 , у=х 3 . При произвольном натуральном n графики и свойства функции у=х n аналогичны известным графикам и свойствам указанных функций.

Если показатель степени n — натуральное число, то степенная функция задаётся формулой y=x n .

При n=1, y=x 1 или y=x — прямая (Рисунок 1).

Рисунок 1 – график функции y=x 1

При n=2, y=x 2 — парабола.

При n=3, y=x 3 — кубическая парабола.

График степенной функции y=x n , где n — чётное число (4,6,8. ), принимает вид параболы.

Рисунок 2 – график функции y=x n , где n — чётное число

График степенной функции y=x n , где n — нечётное число (5,7,9. ), принимает вид кубической параболы.

Рисунок 3 – график функции y=x n , где n — нечётное число

Если показатель степени — целое отрицательное число, то степенная функция задаётся формулой y=x −n или y=1/x n .

График степенной функции y=x −n , в случае, когда n — чётное число (4,6,8. ), принимает вид:

Рисунок 4 – график функции y=x −n , при n — чётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x −4 ,y=x −8 .

График степенной функции y=x −n , в случае, когда n — нечётное число (5,7,9. ), принимает вид гиперболы:

Рисунок 5 – график функции y=x −n , при n — нечётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x −5 ,y=x −11 .

Функции такого вида называются дробно-линейными.

Рассмотрим графики степенных функций y=x m/n с положительным дробным показателем m/n.

1. Степенная функция , где > неправильная дробь (числитель больше знаменателя).

График — ветвь параболы:

Рисунок 6 – , где

Свойства функции , где

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

2. Степенная функция , где — правильная дробь (числитель меньше знаменателя).

Рисунок 7 – функция , где

Свойства функции , где

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вверх;

8. непрерывна.

Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателем степени

График — ветвь гиперболы.

Рисунок 8 – функция

График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.

Свойства функции .

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. убывает при x∈(0;+∞);

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:

Таблица 1 – вывод

Рассмотрим еще одну функцию.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Если функция y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, то она обратима.

Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на множестве X, а Y – область значений функции, то обратная функция x=f −1 (y),y∈Y возрастает (убывает) на множестве Y.

Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y=x.

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.

Дана функция y=x 2 , x∈[0;+∞). Найти обратную функцию.

Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x 2 находим: или . Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции . Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).

Поменяв местами x и y, получим: , x∈[0;+∞). График этой функции получается из графика функции y=x 2 , x∈[0;+∞) с помощью симметрии относительно прямой y=x.

Рисунок 9 – график функции, обратной y=x 2

Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля

Изобразите схематически график функции

Графиком данной функции является гипербола.

Степенная функция, ее свойства и график

Преобразование графиков функции

Содержание:

1. Степенная функция, ее свойства и график;

– Симметрия относительно осей координат;

– Симметрия относительно начала координат;

– Симметрия относительно прямой y = x;

– Растяжение и сжатие вдоль осей координат.

3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;

5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функция: y = xn – ее свойства и график.

Степенная функция, ее свойства и график

y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p , где p – заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p = 2n – четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y = x 2n , где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения – все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений – неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
• функция является убывающей на промежутке x 0.

График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .

2. Показатель p = 2n – 1 – нечетное натуральное число

В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения – множество R;
• множество значений – множество R;
• функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y = x 2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y = x 3 .

3. Показатель p = -2n, где n – натуральное число.

В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:

• область определения – множество R, кроме x = 0;
• множество значений – положительные числа y>0;
• функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
• функция является возрастающей на промежутке x0.

График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .

4. Показатель p = -(2n-1), где n – натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения – множество R, кроме x = 0;
• множество значений – множество R, кроме y = 0;
• функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = –x -(2n-1) ;
• функция является убывающей на промежутках x 0.

График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .

Степенная функция

Степенны́ми называют функции вида x α , где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К ним относятся всем знакомая линейная функция y = kx + b, квадратичная парабола y = x 2 (в общем виде: y = ax 2 + bx + c), кубическая парабола y = x 3 . Степенными являются также гипербола , которую можно представить как y = x −1 , функция (ведь ), и многие другие.

Расскажем подробно об этих функциях и их графиках.

1. Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.

Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше k, тем круче идет график. Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси X:

Если k 2 + bx + c мы уже рассказывали.

Кратко повторим основные моменты:

– Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a 2 + bx + c = 0. Если корней нет (дискриминант уравнения меньше нуля), парабола не пересекает ось X.

– Точку пересечения параболы с осью Y находим, подставив в её уравнение x = 0.

3. На рисунках функции y = x 3 (кубическая парабола), y = x 4 и y = x 5 .

4. Заметим, что между функциями y = x 2 и y = x 4 есть определенное сходство. Оба этих графика симметричны относительно оси Y. Такие функции называются чётными.

Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x).

Графики функций y = x 3 и y = x 5 симметричны относительно начала координат. Эти функции — нечётные.

Определение. Функция y = f(x) называется нечётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Очевидно, функция y = x α является чётной при чётных значениях α и нечётной при нечётных α.

5. Функция (гипербола) также относится к степенным. Ведь . Поскольку знаменатель не должен обращаться в ноль, эта функция не определена при x = 0. Гипербола является нечётной функцией. Её график симметричен относительно начала координат.

6. Построим график функции .

Выражение определено при x ≥ 0, поэтому область определения функции — все неотрицательные числа.

Кроме того, принимает только неотрицательные значения, поскольку ≥ 0.

Мы используем эти свойства при решении уравнений и неравенств. Уравнение вида имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Это его область допустимых значений.

Существуют вопросы, ставящие в тупик почти любого абитуриента. Например, чему равен ?

Правильный ответ:

Запомните это. Проверить легко: возьмём, например, a = −2.

Изобразим на одном графике параболу y = x 2 и функцию .

Сейчас нас интересует правая ветвь параболы, при x ≥ 0. Мы видим, что эта часть параболы и график функции словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x. То, что для одной из них — область определения, для другой — область значений.

Напомним, что такие функции называются взаимно-обратными. Подробно об этом можно прочитать в статье «Логарифмическая функция»).

7. Легко убедиться, что функция является обратной к функции y = x 3

Свойства и график степенной функции

История зарождения и развития понятия о степенной функции. Основные свойства и особенности построения графиков степенных функций. Решение задач на построение графиков заданных функций. Исследование степенной функции на монотонность и ограниченность.

• посмотреть текст работы

• скачать работу можно здесь

• полная информация о работе

• весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Понятие степенной функции прошло длительный исторический путь своего формирования. Таблицы некоторых натуральных степеней имелись еще в Древнем Китае, Вавилоне, однако вплоть до эпохи Возрождения не существовало общепринятых обозначений. Впервые современную символику для степеней с целым показателем стал использовать Д. Валлис (1616-1703), а общепринятой она стала после работ Ньютона и Лейбница. Также в XVII веке, вместе с открытием переменной величины Декартом и Ферма, появляется понятие функции в более-менее современном ее понимании, в том числе степенной. В частности, Ферма первым сформулировал правило дифференцирования степенной функции. В следующем веке понятие степенной функции, как и других элементарных функций, было обобщено на случай комплексных чисел Леонардом Эйлером.

Функция вида , где число, принадлежащее множеству действительных чисел, называется степенной функцией. Число может принимать различные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых. Рассмотрим в следующем порядке: степенная функция (прямая), степенная функция (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола), функция с рациональным (дробным) показателем.

Актуальность: в настоящее время степенные функции, наряду с остальными элементарными функциями, играют огромную роль в математике и, следовательно, в преподавании математики. В школьном курсе степенные функции являются элементом многих задач, включая уравнения и неравенства, поэтому хорошее знание их свойств необходимо для успешного усвоения программы. Кроме того, степенная функция представляет собой сравнительно простой и в то же время нетривиальный пример функции, на примере которой становится возможным рассмотрение общих свойств функций. В высшей математике степенные функции также широко используются как техническое средство рассмотрения более сложных вопросов математического и функционального анализа, математической физики, дифференциальных уравнений, а также часто встречаются в приложениях. степенной функция график монотонность ограниченность

Объект исследования: степенная функция.

Предмет исследования: свойства и графики степенной функции.

Цель исследования: обобщить и кратко описать свойства и графики степенных функций.

Задачи исследования:

– изучить теоретические основы изучаемой темы;

– научится строить графики степенных функций;

– рассмотреть и изучить свойства степенных функций;

– уметь применять свойства при решении практических задач.

Параграф 1. Свойства и график степенной функции

Функция

Рассмотрим степенную функцию где т.е. функцию Графиком данной функции является прямая, проходящая через начало координат (рис.1).

Составим таблицу значений для функции (таблица 1):