Область значения функции – как найти и примеры решений

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Множество значений функции y = f ( x ) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x ∈ X .

Область значений функции y = f ( x ) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x ∈ ( f ) .

Область значений некоторой функции принято обозначать E ( f ) .

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y = f ( x ) . Область допустимых значений x для выражения f ( x ) и будет областью определения данной функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Очевидно, что область значений функции можно получить при проецировании графика функции на ось O y . При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.

Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f ( x ) на некотором отрезке, обозначенном [ a ; b ] . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f ( x ) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f ( x ) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f ( x ) ; m a x x ∈ a ; b f ( x ) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Условие: найдите область значений y = a r c sin x .

Решение

В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [ – 1 ; 1 ] . Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.

y ‘ = a r c sin x ‘ = 1 1 – x 2

Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x , расположенных в интервале [ – 1 ; 1 ] , то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x , равном – 1 , а самое большое – при x , равном 1 .

m i n x ∈ – 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin – 1 = – π 2 m a x x ∈ – 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E ( a r c sin x ) = – π 2 ; π 2 .

Ответ: E ( a r c sin x ) = – π 2 ; π 2

Условие: вычислите область значений y = x 4 – 5 x 3 + 6 x 2 на заданном отрезке [ 1 ; 4 ] .

Решение

Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

y ‘ = x 4 – 5 x 3 + 6 x 2 ‘ = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 – 15 x + 12 y ‘ = 0 ⇔ x ( 4 x 2 – 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 и л и 4 x 2 – 15 x + 12 = 0 D = – 15 2 – 4 · 4 · 12 = 33 x 2 = 15 – 33 8 ≈ 1 . 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4

Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x 2 = 15 – 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8 :

y ( 1 ) = 1 4 – 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 – 33 8 = 15 – 33 8 4 – 5 · 15 – 33 8 3 + 6 · 15 – 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 – 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 – 165 33 512 ≈ – 1 . 62 y ( 4 ) = 4 4 – 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32

Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117 – 165 33 512 ; 32 .

Ответ: 117 – 165 33 512 ; 32 .

Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f ( x ) в промежутках ( a ; b ) , причем a ; + ∞ , – ∞ ; b , – ∞ ; + ∞ .

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Условие: вычислите область значений функции y = 1 x 2 – 4 на интервале ( – 2 ; 2 ) .

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

y ‘ = 1 x 2 – 4 ‘ = – 2 x ( x 2 – 4 ) 2 y ‘ = 0 ⇔ – 2 x ( x 2 – 4 ) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ ( – 2 ; 2 )

У нас получилось максимальное значение, равное 0 , поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:

То есть y ( 0 ) = 1 0 2 – 4 = – 1 4 будет максимальным значений функции.

Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к – 2 с правой стороны и к + 2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:

lim x → – 2 + 0 1 x 2 – 4 = lim x → – 2 + 0 1 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = = 1 – 2 + 0 – 2 – 2 + 0 + 2 = – 1 4 · 1 + 0 = – ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 – 4 = lim x → 2 + 0 1 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = = 1 2 – 0 – 2 2 – 0 + 2 = 1 4 · 1 – 0 = – ∞

У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до – 1 4 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от – 2 до 0 . А когда аргумент меняется от 0 до 2 , значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет ( – ∞ ; – 1 4 ] .

Ответ: ( – ∞ ; – 1 4 ] .

Условие: укажите множество значений y = t g x на заданном интервале – π 2 ; π 2 .

Решение

Нам известно, что в общем случае производная тангенса в – π 2 ; π 2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g – π 2 + 0 = – ∞ lim x → π 2 – 0 t g x = t g π 2 – 0 = + ∞

Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от – π 2 до π 2 ,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.

Ответ: – ∞ ; + ∞ .

Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x .

Решение

Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D ( y ) = 0 ; + ∞ . Производная на заданном интервале будет положительной: y ‘ = ln x ‘ = 1 x . Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:

lim x → 0 + 0 ln x = ln ( 0 + 0 ) = – ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Условие: определите, какова область значений функции y = 9 x 2 + 1 .

Решение

Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

y ‘ = 9 x 2 + 1 ‘ = – 18 x ( x 2 + 1 ) 2 y ‘ = 0 ⇔ x = 0 y ‘ ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y ‘ ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x ≥ 0 ; возрастать, если x ≤ 0 ; она имеет точку максимума y ( 0 ) = 9 0 2 + 1 = 9 при переменной, равной 0 .

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

lim x → – ∞ 9 x 2 + 1 = 9 – ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0 . Мы отобразили это на рисунке:

На нем видно, что областью значений функции будет интервал E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Ответ: E ( y ) = ( 0 ; 9 ]

Если нам надо определить множество значений функции y = f ( x ) на промежутках [ a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; + ∞ ) , ( – ∞ ; b ] , то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Условие: определите, какова будет область значений y = x x – 2 .

Решение

Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0 , то D ( y ) = – ∞ ; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке – ∞ ; 2 , который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.

lim x → 2 – 0 x x – 2 = 2 – 0 2 – 0 – 2 = 2 – 0 = – ∞ lim x → – ∞ x x – 2 = lim x → – ∞ x – 2 + 2 x – 2 = lim x → – ∞ 1 + 2 x – 2 = 1 + 2 – ∞ – 2 = 1 – 0

Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1 . Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2 , то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала – ∞ ; 1 . Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.

Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

lim x → 2 + 0 x x – 2 = 2 + 0 2 + 0 – 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x – 2 = lim x → + ∞ x – 2 + 2 x – 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x – 2 = 1 + 2 + ∞ – 2 = 1 + 0

Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1 ; + ∞ . Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств – ∞ ; 1 и 1 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = – ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Условие: определите область значений синуса y = sin x .

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

y ‘ = ( sin x ) ‘ = cos x y ‘ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

В рамках 0 ; 2 π у функции будут точки экстремума π 2 и x = 3 π 2 . Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.

y ( 0 ) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = – 1 y ( 2 π ) = sin ( 2 π ) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = – 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Ответ: E ( sin x ) = – 1 ; 1 .

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Условие: определите область значения y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 – 4 .

Решение

Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E ( a r c cos x ) = 0 ; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Мы можем получить функцию a r c cos x 3 + 5 π 7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси O x , но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Функция 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 может быть получена из арккосинуса a r c cos x 3 + 5 π 7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси O y на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:

0 – 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 – 4 ≤ 3 π – 4 ⇔ – 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 – 4 ≤ 3 π – 4

Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E ( y ) = – 4 ; 3 π – 4 .

Ответ: E ( y ) = – 4 ; 3 π – 4 .

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Условие: вычислите, какова будет область значений функции y = 2 2 x – 1 + 3 .

Решение

Перепишем функцию, заданную в условии, как y = 2 · ( 2 x – 1 ) – 1 2 + 3 . Для степенной функции y = x – 1 2 область значений будет определена на промежутке 0 ; + ∞ , т.е. x – 1 2 > 0 . В таком случае:

2 x – 1 – 1 2 > 0 ⇒ 2 · ( 2 x – 1 ) – 1 2 > 0 ⇒ 2 · ( 2 x – 1 ) – 1 2 + 3 > 3

Значит, E ( y ) = 3 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = 3 ; + ∞ .

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Условие: дана функция y = 2 sin x 2 – 4 , x ≤ – 3 – 1 , – 3 x ≤ 3 1 x – 3 , x > 3 . Вычислите область ее значений.

Решение

Данная функция является определенной для всех значений x . Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных – 3 и 3 :

lim x → – 3 – 0 f ( x ) = lim x → – 3 2 sin x 2 – 4 = 2 sin – 3 2 – 4 = – 2 sin 3 2 – 4 lim x → – 3 + 0 f ( x ) = lim x → – 3 ( 1 ) = – 1 ⇒ lim x → – 3 – 0 f ( x ) ≠ lim x → – 3 + 0 f ( x )

Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента – 3 . При приближении к нему значения функции стремятся к – 2 sin 3 2 – 4 , а при стремлении x к – 3 с правой стороны значения будут стремиться к – 1 .

lim x → 3 – 0 f ( x ) = lim x → 3 – 0 ( – 1 ) = 1 lim x → 3 + 0 f ( x ) = lim x → 3 + 0 1 x – 3 = + ∞

Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3 . Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к – 1 , при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.

Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала ( – ∞ ; – 3 ] , ( – 3 ; 3 ] , ( 3 ; + ∞ ) .

На первом из них у нас получилась функция y = 2 sin x 2 – 4 . Поскольку – 1 ≤ sin x ≤ 1 , получаем:

– 1 ≤ sin x 2 1 ⇒ – 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ – 6 ≤ 2 sin x 2 – 4 ≤ – 2

Значит, на данном промежутке ( – ∞ ; – 3 ] множество значении функции – [ – 6 ; 2 ] .

На полуинтервале ( – 3 ; 3 ] получилась постоянная функция y = – 1 . Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу – 1 .

На втором промежутке 3 ; + ∞ у нас есть функция y = 1 x – 3 . Она является убывающей, потому что y ‘ = – 1 ( x – 3 ) 2 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x – 3 = 1 3 + 0 – 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x – 3 = 1 + ∞ – 3 = 1 + ∞ + 0

Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0 ; + ∞ . Теперь объединим полученные результаты: E ( y ) = – 6 ; – 2 ∪ – 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Ответ: E ( y ) = – 6 ; – 2 ∪ – 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Решение показано на графике:

Условие: есть функция y = x 2 – 3 e x . Определите множество ее значений.

Решение

Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

y ‘ = x 2 – 3 e x ‘ = 2 x e x – e x ( x 2 – 3 ) e 2 x = – x 2 + 2 x + 3 e x = – ( x + 1 ) ( x – 3 ) e x

Мы знаем, что производная обратится в 0 , если x = – 1 и x = 3 . Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.

Функция будет убывать на ( – ∞ ; – 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) и возрастать на [ – 1 ; 3 ] . Точкой минимума будет – 1 , максимума – 3 .

Теперь найдем соответствующие значения функции:

y ( – 1 ) = – 1 2 – 3 e – 1 = – 2 e y ( 3 ) = 3 2 – 3 e 3 = 6 e – 3

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

lim x → – ∞ x 2 – 3 e x = – ∞ 2 – 3 e – ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 – 3 e x = + ∞ 2 – 3 e + ∞ = ” open=” + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 – 3 ‘ e x ‘ = lim x → + ∞ 2 x e x = ” open=” + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x ‘ ( e x ) ‘ = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 · 1 + ∞ = + 0

Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до – 2 e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до – 1 . Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6 e – 3 до 0 , но при этом 0 достигнут не будет.

Таким образом, E ( y ) = [ – 2 e ; + ∞ ) .

Ответ: E ( y ) = [ – 2 e ; + ∞ )

Область значения функций в задачах ЕГЭ

Разделы: Математика

Понятие функции и всё, что с ним связано, относится к традиционно сложным, не до конца понятым. Особым камнем преткновения при изучении функции и подготовке к ЕГЭ являются область определения и область значений (изменения) функции.
Нередко учащиеся не видят разницы между областью определения функции и областью её значений.
И если задачи на нахождение области определения функции учащимся удаётся освоить, то задачи на нахождение множества значений функции вызывают у них немалые затруднения.
Цель данной статьи: ознакомление с методами нахождения значений функции.
В результате рассмотрения данной темы был изучен теоретический материал, рассмотрены способы решения задач на нахождение множеств значений функции, подобран дидактический материал для самостоятельной работы учащихся.
Данная статья может быть использована учителем при подготовке учащихся к выпускным и вступительным экзаменам, при изучении темы “Область значения функции” на факультативных занятиях элективных курсах по математике.

I. Определение области значений функции.

Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y₀, для каждого из которых найдётся такое число x₀, что: f(x₀) = y₀.

Напомним области значений основных элементарных функций.

Заметим также, что областью значения всякого многочлена чётной степени является промежуток [m;+∞) , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток

(-∞;n] , где n – наибольшее значение этого многочлена.

II. Свойства функций, используемые при нахождении области значений функции

Для успешного нахождения множества значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения, области значений и характер монотонности. Приведём свойства непрерывных, монотонных дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функций.

1. Если функция f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a;b], то множество значений функции на этом отрезке есть отрезок [f(a),f(b)]. При этом каждое значение А [f(a),f(b)] функция принимает ровно при одном значении x принадлежит [a,b], т.е уравнение f(x) = А имеет единственный корень на отрезке [a,b]. Если же f(x) – непрерывная и убывающая на отрезке [a,b] функция, то её множество значений на [a,b] есть отрезок [f(a),f(b)].
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и m = min f(x), M = max f(x) – её наименьшее и наибольшее значение на этом отрезке, то множество значений f(x) на [a,b] есть отрезок [m;M].
3. Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема (имеет производную) в интервале (a,b), то наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a,b] существуют и достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках функции, расположенных на отрезке

Свойства 2 и 3, как правило, используются вместе свойством элементарной функции быть непрерывной в своей области определения. При этом наиболее простое и краткое решение задачи на нахождение множества значений функции достигается на основании свойства 1, если несложными методами удаётся определить монотонность функции. Решение задачи ещё упрощается, если функция, вдобавок, – чётная или нечётная, периодическая и т.д. Таким образом, при решении задач на нахождение множеств значений функции следует по мере надобности проверять и использовать следующие свойства функции:

• непрерывность;
• монотонность;
• дифференцируемость;
• чётность, нечётность, периодичность и т.д.

Несложные задачи на нахождение множества значений функции в большинстве своём ориентированны:

а) на использование простейших оценок и ограничений: (2 х >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 и т.д.);

б) на выделение полного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;

в) на преобразование тригонометрических выражений: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

г) использование монотонности функции x 1/3 + 2 x-1 возрастает на R.

III. Рассмотрим способы нахождения областей значений функций.

а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
б) метод оценок;
в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
г) использование производной;
д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
е) графический метод;
ж) метод введения параметра;
з) метод обратной функции.

Раскроем суть этих методов на конкретных примерах.

Пример 1. Найдите область значений E(y) функции y = log_0,5(4 – 2·3 x – 9 x ).

Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию

y = log_0,5(5 – (1 + 2·3 x – 3 2x )) = log_0,5(5 – (3 x + 1) 2 )

И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:

E(3 x ) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2 ) = (-∞;4)

Обозначим t = 5 – (3 x +1) 2 , где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции y = log_0,5t на луче (-∞;4). Так как функция y = log_0,5t определена лишь при, то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).

Пример 2. Найдите область значений функции

y = cos7x + 5cosx

Решим этот пример методом оценок, суть которого состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Из неравенств -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 получим оценку -6≤y?6. При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos7x и cosx, функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств -6≤y?6 другие значения у неё невозможны. Следовательно, E(y) = [-6;6].

Пример 3. Найдите область значений E(f) функции f(x) = cos2x + 2cosx.

По формуле косинуса двойного угла преобразуем функция f(x) = 2cos 2 x + 2cosx – 1 и обозначим t = cosx. Тогда f(x) = 2t 2 + 2t – 1. Так как E(cosx) =

[-1;1], то область значений функции f(x) совпадает со множеством значений функции g(t) = 2t 2 + 2t – 1 на отрезке [-1;1], которое найдём графическим методом. Построив график функции y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 на промежутке [-1;1], находим E(f) = [-1,5; 3].

Замечание – к нахождению множества значений функции сводятся многие задачи с параметром, связанные, в основном, с разрешимостью и числом решений уравнения и неравенств. Например, уравнение f(x) = а разрешимо тогда и только тогда, когда

a E(f) Аналогично, уравнение f(x) = а имеет хотя бы один корень, расположенный на некотором промежутке Х, или не имеет ни одного корня на этом промежутке тогда и только тогда, когда а принадлежит или не принадлежит множеству значений функции f(x) на промежутке Х. Также исследуются с привлечением множества значений функции и неравенства f(x)≠ а, f(x)>а и т.д. В частности, f(x)≠ а для всех допустимых значений х, если a E(f)

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) имеет единственный корень на отрезке [-4;-1].

Запишем уравнение в виде (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a . Последнее уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [-4;-1] тогда и только тогда, когда а принадлежит множеству значений функции f(x) = (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) на отрезке [-4;-1]. Найдём это множество, используя свойство непрерывности и монотонности функции.

На отрезке [-4;-1] функция y = xІ + 4 непрерывна, убывает и положительна, поэтому функция g(x) = 1/(x 2 + 4) непрерывна и возрастает на этом отрезке, так как при делении на положительную функцию характер монотонности функции меняется на противоположный. Функция h(x) = (x + 5) 1/2 непрерывна и возрастает в своей области определения D(h) = [-5;+∞) и, в частности на отрезке [-4;-1], где она, кроме того, положительна. Тогда функция f(x)=g(x)·h(x), как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций, также непрерывна и возрастает на отрезке [-4;-1], поэтому её множество значений на [-4;-1] есть отрезок [f(-4); f(-1)] = [0,05; 0,4]. Следовательно, уравнение имеет решение на отрезке [-4;-1], причём единственное (по свойству непрерывной монотонной функции), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Замечание. Разрешимость уравнения f(x) = a на некотором промежутке Х равносильна принадлежности значений параметра а множеству значений функции f(x) на Х. Следовательно, множество значений функции f(x) на промежутке Х совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень на промежутке Х. В частности, область значений E(f) функции f(x)совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень.

Пример 5. Найдите область значений E(f) функции

Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

При а=2 уравнение является линейным – 4х – 5 = 0 с ненулевым коэффициентом при неизвестной х , поэтому имеет решение. При а≠2 уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант

Так как точка а = 2 принадлежит отрезку

то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений E(f) будет весь отрезок.

Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y, считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y), то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y). Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g₁(y), x =g₂(y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g₁(y), g₂(y) и т.д.

Пример 6. Найдите область значений E(y) функции y = 5 2/(1-3x).

найдём обратную функцию x = log₃((log₅y – 2)/(log₅y)) и её область определения D(x):

Так как уравнения относительно х имеет единственное решение, то

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+ ∞ ).

Если область определения функции состоит из нескольких промежутков или функция на разных промежутках задана разными формулами, то для нахождения области значений функции надо найти множества значений функции на каждом промежутке и взять их объединение.

Пример 7. Найдите области значений f(x) и f(f(x)), где

Найдём сначала множество значений функции f(x) на луче (-∞;1], где она совпадает с выражением 4 x + 9·4 -x + 3. Обозначим t = 4 x . Тогда f(x) = t + 9/t + 3, где 0 2 . На промежутке (0;4] производная g’(t) определена и обращается там в нуль при t = 3. При 0 1 функция f(x) совпадает с выражением 2cos(x-1) 1/2 + 7. Квадратный корень (x-1) 1/2 при x > 1 определён и принимает все положительные значения, поэтому cos(x-1) 1/2 принимает все значения от -1 до 1 включительно, а выражение 2cos(x-1) 1/2 + 7 принимает все значения от 5 до 9 включительно. Следовательно, множеством значений функции f(x) на луче (1;+∞) будет отрезок [5;9].

Теперь, объединив промежутки [9;+∞) и [5;9] – множества значений функции f(f(x)), обозначим t = f(x). Тогда f(f(x)) = f(t), где При указанных t функция f(t) = 2cos(x-1) 1/2 + 7 и она снова принимает все значения от 5 до 9 включительно, т.е. область значений E(fІ) = E(f(f(x))) = [5;9].

Аналогично, обозначив z = f(f(x)), можно найти область значений E(f 3 ) функции f(f(f(x))) = f(z), где 5 ≤ z ≤ 9 и т.д. Убедитесь, что E(f 3 ) = [2cos8 1/2 + 7; 2cos2 + 7].

Наиболее универсальным методом нахождения множества значений функции является использование наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке.

Пример 8. При каких значениях параметра р неравенcтво 8 x –р ≠ 2 x+1 – 2 x выполняется для всех -1 ≤ x x , запишем неравенство в виде р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Так как t = 2 x – непрерывная возрастающая функция на R, то при -1 ≤ x -1 ≤ t 2 ↔

0,5 ≤ t 3 – 2t 2 + t при 0,5 ≤ t 2 – 4t + 1. Следовательно, f(t) дифференцируема, значит, и непрерывна на отрезке [0,5;4]. Из уравнения f’(t) = 0 найдём критические точки функции t = 1/3, t = 1, первая из которых не принадлежит отрезку [0,5;4], а вторая принадлежит ему. Так как f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, то, по свойству дифференцируемой функции, 0 – наименьшее, а 36 – наибольшее значение функции f(t) на отрезке [0,5;4]. Тогда f(t), как непрерывная функция, принимает на отрезке [0,5;4] все значения от 0 до 36 включительно, причём значение 36 принимает только при t = 4, поэтому при 0,5 ≤ t

Данная тема имеет практическое значение. В школьном курсе математики изучается тема “Область значения функции”. Такие задачи обязательно содержатся в заданиях различных математических тестов, в частности в заданиях единого государственного экзамена.
Результаты работы можно использовать на уроках и дополнительных занятиях при подготовке учащихся выпускным и вступительным экзаменам, при самостоятельной подготовке учащихся по данной теме.

1. Сильвестров В.В. Множество значений функции: Учебное пособие.– Чебоксары, 2004.
2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами.– Минск, 1996.
3. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – Москва – Харьков, 1998.
4. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. 4-е изд., доп., перераб. – М., 2006.
5. Сильвестров В.В. Неравенства с параметром на едином государственном экзамене // Математика для школьников. 2008. № 2.

Область значения функции

• Что такое функция в алгебре
• Виды функций
  • Линейная
  • Обратная пропорциональность
  • Квадратичная (квадратная)
  • Степенная
  • Показательная
  • Логарифмическая
  • Тригонометрические
• Типы функций
  • Важные свойства
• Методы нахождения
  • Перебор значений
  • Графический метод
  • Учет непрерывности и монотонности
  • Производная, min и max
• Пример решения

Что такое функция в алгебре

Функция в алгебре — некое математическое выражение y=f(x), где каждому значению переменной x соответствует одно значение переменной y.

Из этого следует, что решений у функции может быть много. Для обозначения совокупностей таких решений вводятся особые термины.

Множество значений функции y=f(x) — совокупность значений переменной y, которые она принимает при переборе всех значений переменной x на заданном отрезке X.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Областью значений функции y=f(x) называется такое множество значений, которые функция y принимает при переборе всех значений аргумента x из области определения. Область значений обозначается как E(f).

Область допустимых значений (область определения) функции — такое множество всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается.

Область значений функции вместе с областью ее определения формирует границы для отображения данной функции в виде графика.

Виды функций

Для каждой функции, в зависимости от ее структуры, область значений будет своя. Рассмотрим основные виды элементарных математических функций.

Линейная

Область значений включает в себя все действительные числа: (E(f)=(-infty;;+infty).)

Обратная пропорциональность

Согласно свойств данной функции, (kneq0) , так как в этом случае ее график вместо гиперболы приобретает вид прямой линии, проходящей по оси ординат за исключением точки (0; 0). Исходя из этого, условия, область значений функции обратной пропорциональности включает в себя все действительные числа, кроме нуля:

Квадратичная (квадратная)

(y=acdot x^2+bcdot x+c)

В ее основе лежит стандартный квадратный трехчлен (acdot x^2+bcdot x+c) , причем ( aneq0) , так как иначе функция сокращается до линейной. В общем виде область значений квадратичной функции ограничивается вершиной параболы, которая является ее графиком.

Координата вершины (y_0) рассчитывается так:

Область значений зависит от коэффициента a:

• если a>0: (E(f)=lbrack y_0;;+infty))
• если a (E(f)=(-infty;;y_0rbrack)

Квадратную функцияю y=x^2 можно рассматривать как частный случай квадратичной или степенной функций. Так как при возведении числа в четную степень результат будет всегда положительным, область значений для нее следующая:

(mathrm E(mathrm f)=lbrack0;;+infty) )

Степенная

Область значений степенной функции зависит от того, к какому числовому множеству относится показатель степени n:

1. Если (mathrm ninmathbb) , то есть является натуральным числом (за исключением нуля), то область значений включает в себя все действительные числа: ( mathrm E(mathrm f)=(-infty;;+infty).)
2. Если (mathrm ninmathbb) , то есть относится к действительным числам, то область значений степенной функции сужается: (mathrm E(mathrm f)=(0;;+infty)) .

Показательная

Для показательной функции существует одно определяющее условие: (mathrm a>0) . В связи с этим область ее значений включает в себя все положительные числа:

(mathrm E(mathrm f)=(0;;+infty) )

Логарифмическая

(mathrm y=log_left(mathrm xright))

По своим свойствам логарифмическая функция обратна показательной. Для данных функций область определения и область значений меняются местами соответственно. ОЗ логарифмической функции включает в себя все действительные числа:

(mathrm E(mathrm f)=(-infty;;+infty))

Тригонометрические

Рассмотрим четыре базовые тригонометрические функции:

• синус;
• косинус;
• тангенс;
• котангенс.

Первые две периодически повторяются в промежутке между -1 и 1:

Область значения тангенса и котангенса включает в себя все действительные числа:

(mathrm E(mathrm f)=(-infty;;+infty))

Типы функций

При определении области значений функции необходимо учитывать ее фундаментальные особенности. Обозначенная выше классификация — не единственная. У математических функций есть некоторые параметры, которые влияют как на саму область значений, так и на выбор методики ее нахождения.

Важные свойства

К наиболее важным для поиска области значений функции относят следующие ее свойства:

1. Непрерывность. Непрерывной называется функция, на графике которой нет «точек разрыва». Таким точкам соответствуют значения переменной, при которых функция не имеет смысла, то есть — исключенные из области определения.
2. Монотонность. Монотонной называется функция, которая не возрастает или не убывает на всей области определения.
3. Четность. Четной называется функция, не меняющая своего значения при смене знака переменной. То есть, f(-x)=f(x). Соответственно, нечетная функция меняет значение. Выделяют также функции общего вида, которые не симметричны относительно центра или оси координат.
4. Периодичность. Периодическая функция повторяет свои значения через определенные равные интервалы значений переменной.

Методы нахождения

Поиск области значений функции несколько сложнее, чем определение ОДЗ. В зависимости от вида и типа функции, а также условий задачи для этого могут применяться различные методы.

Перебор значений

Самый простой и ограниченный способ. При его помощи можно находить область значений на небольшом промежутке целых чисел (xin(a;;b)) . В таком случае заданные значения переменной поочередно подставляются в уравнение и вычисляются значения функции, соответствующие им.

Графический метод

Как ясно из названия способа, для его реализации необходимо построить график исследуемой функции. По внешнему виду кривой уже можно делать некоторые выводы. Если линия графика соответствует одному из видов элементарных функций, например, является параболой, то в качестве области значений берется промежуток, соответствующий данному графику.

Если по условию задачи необходимо найти область значений функции на определенном промежутке значений переменной x, то на графике максимальные и минимальные точки становятся очевидными. Это могут быть как общие точки экстремума, так и локальные максимальные и минимальные значения.

Учет непрерывности и монотонности

Данный метод вытекает из предыдущего и позволяет делать некоторые прогнозы об области значений функции исходя из ее свойств. Если на графике видно, что функция не прерывается и монотонно убывает или возрастает на определенном промежутке, можно предположить, что эта тенденция сохранится и дальше.

Например, график квадратичной функции f(x)=x^2 имеет вид параболы с точкой перегиба с координатами (0, 0). Кривая непрерывна, то есть не имеет разрывов в области определения. Для того, чтобы определить область значений данной функции, достаточно построить ее график на ограниченном промежутке. Для примера возьмем (xinlbrack-4;;4rbrack) :

Рисунок 1. Значение непрерывности и монотонности функции для области определения

На графике видно, что функция монотонно убывает на промежутке (lbrack-4;;0rbrack) и монотонно возрастает на промежутке ( lbrack0;;4rbrack) . Исходя из этого и непрерывности функции, можно экстраполировать данную закономерность на всю область определения. Так как минимальное значение данной функции равняется нулю, область значений будет следующей:

(mathrm E(mathrm f)=lbrack0;;+infty))

Производная, min и max

Описанные выше способы подходят не для всех ситуаций. В общем случае, задача по определению области значений функции всегда сводится к нахождению ее минимального и максимального значения или точек экстремума.

Согласно теореме Ферма, в точках локального экстремума производная исследуемой функции равняется нулю.

Важно понимать, что сами локальный экстремум не обязательно является максимумом или минимумом для функции в целом. Такие точки называются критическими или стационарными. Поэтому, кроме самих точек необходимо определять промежутки возрастания и убывания:

• если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с (+) на (-), то эта точка является максимумом;
• если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (-) на (+), то такая точка является минимумом;
• если при переходе знак производной не меняется, то экстремума в данной точке нет.

Кроме того, экстремумы функции можно определять по второй производной. Предположим, при исследовании функции обнаружилась некая критическая точка x_1. Для нее справедливы следующие неравенства:

Если (f”(x_1)>0) , то (x_1) — точка минимума.

Если (f”(x_1) , то (x_1) — точка максимума.

Пример решения

Задача

Дана функция (y=x^4-2cdot x^2-5) . Найти область ее значений.

Так как функция не относится к элементарным и по условию задачи область поиска не ограничена, воспользуемся методом нахождения точек минимума и максимума.

Найдем производную данной функции y’, воспользовавшись формулами из таблицы производных:

(y’=4cdot x^3-4cdot x)

Согласно теореме Ферма, в точках экстремума производная равняется нулю.

Начнем решать полученное уравнение:

(4cdot x^3-4cdot x=0)

Так как уравнение равняется нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, разобьем его на три составляющие:

1. (4cdot x=0)
2. (x-1=0)
3. (x+1=0)

Получим следующие результаты:

Данные точки являются критическими. В итоге мы имеем четыре промежутка:

Чтобы понять, какие из точек являются минимальными и максимальными, необходимо взять по числу из каждого промежутка и решить производную (y’=4cdot x^3-4cdot x ) относительно них. Сам результат вычислений не важен, учитывать нужно только знак: (+) или (-).

На первом и третьем промежутках производная принимает отрицательное значение, на втором и четвертом — положительное. Следовательно, найденные ранее точки (x_1=-1;и;x_3=1) являются точками минимума, а точка (x_2=1) — точкой максимума. Это еще не окончательный результат, так как необходимо понять, на каких промежутках функция возрастает, а на каких — убывает.

Согласно определению, в точка минимума функция переходит от убывания к возрастанию, а в точке максимума — наоборот. Таким образом, на промежутке ((-infty;;-1rbrack ) функция монотонно убывает и монотонно возрастает на промежутке (lbrack1;;+infty)) . Из этого следует, что точка (x_2=1) является лишь локальным экстремумом. Значит, область значений функции (y=x^4-2cdot x^2-5) не ограничивается ей.

Чтобы вычислить минимальное значение, подставляем полученные точки минимума в изначальное выражение. Получаем (y_=-6) .

Область определения функции (y=x^4-2cdot x^2-5) следующая:

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы! Приходи на пробное занятие с нашими лучшими преподавателями!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x – 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x – a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x – a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Область значения функции как определить и найти, примеры решения нахождения области значений тригонометрических функций по графику

В некоторых типах задач следует провести исследование какой-либо функции. Это делается очень просто, поскольку существуют определенные алгоритмы нахождения некоторых величин. В интернете можно найти много информации, но некоторые сведения являются недостоверными. Одним из элементов исследования считается определение области значения функции.

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x 2 — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x 2 — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = -[b 2 — 4ac] / 4a = -[(-2)^2 — 4 * 3 * (-1)] / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

E (sin (x)) = [-1;1].

Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.

Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

Содержание

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

Примеры решения задач

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Пусть X – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве X задана числовая функция, если указано правило, с помощью которого каждому числу x из множества X ставится в соответствие некоторое число.

Это принято обозначать так:

причем в этой записи x называют аргументом функции или независимой переменной, а y называют значением функции, соответствующим аргументу x .

Множество X называют областью определения функции f и обозначают D ( f ) . Множество Y всех возможных значений функции y = f (x) называют множеством значений функции f и обозначают E ( f ) (рис. 1).

Примеры решения задач

Часто в задачах известна формула, задающая функцию f , и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции y = f (x) ». В некоторых задачах требуется найти не только область определения функции, но и множество ее значений.

ЗАДАЧА 1 . Найти область определения функции

РЕШЕНИЕ . Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа x 4 на число (3 + x) . Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число 0 , то число (3 + x) не может равняться 0 , то есть .

ОТВЕТ . .

ЗАДАЧА 2 . Найти область определения функции

РЕШЕНИЕ . Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством

которое эквивалентно неравенству

и может быть записано в виде

.

Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим

ОТВЕТ . .

ЗАДАЧА 3 . Найти область определения функции

РЕШЕНИЕ . Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств

(1)

Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,

Таким образом, система (1) эквивалентна системе

Решением этой системы является интервал

ОТВЕТ . .

ЗАДАЧА 4 . Найти множество значений функции

Поскольку множеством значений функции y = sin (x + φ) является отрезок [–1, 1], то множеством значений функции y = 5 sin (x +φ) будет отрезок [–5, 5].

ОТВЕТ . .

ЗАДАЧА 5 . Найти множество значений функции

и для каждого числа существуют решения уравнения

то множеством значений функции y = x 2 + 6x + 8 будет множество .

ОТВЕТ . .

Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.

Что такое область определения функции? что такое область значения функции? Давайте, в этой статье разберемся в понятиях числовой функции и ее характеристиках и свойствах.

Определение функции.

Функция y=f(x) — это когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y или другими словами такая зависимость переменной y от переменной x.

х — называется независимой переменной или аргументом.

y – называется зависимой переменной или значением функции.

Множество чисел, где x∈X или D(f) — называется областью определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.

Область значений функций, когда задаем правило или функцию, которая позволяет по произвольно выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующее значение y.

Переменную х или аргумент мы придумываем сами и подставляем в правило, которое задали или функцию. Далее рассчитываем переменную y или значение функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная х называется областью определения функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная y называется областью значения функции.

Графиком функции y=f(x), x∈X называется множество точек (x; f(x)) координатной плоскости.

Разберём пример №1:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x 2

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	16	9	4	1	0	1	4	9	16

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

Следовательно, раз нет ограничений по переменной x она существует от -∞ до +∞ или краткая запись x∈(-∞; +∞). Область определения, это диапазон чисел, которые можно подставить в определенную формулу графика, если ограничений нет, то D(f) = (−∞; +∞).

А теперь рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y принимает положительные значение, так как и самое минимальное значение 0. Следовательно, y∈[0; +∞).

Если посмотрим на график, то увидим, что графика ниже нуля нет. Следовательно, область значения функции E(f) = [0; +∞).

Разберём пример №2:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x+1?

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

Следовательно, раз нет ограничений по переменной x она существует от -∞ до +∞ или краткая запись x∈(-∞; +∞). Область определения, это диапазон чисел, которые можно подставить в определенную формулу графика, если ограничений нет, то D(f) = (−∞; +∞).

Рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y также принимает значения как в положительном, так и в отрицательном направлении. Следовательно, ограничений у переменной y нет, y∈(−∞; +∞). Область значения функции E(f) = (−∞; +∞).