График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х – 2. Значит:
- если х = 0, то у = -2;
- если х = 2, то у = -1;
- если х = 4, то у = 0;
- и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
| х | 0 | 2 | 4 |
| y | -2 | -1 | 0 |
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Свойства линейной функции
- Область определения функции — множество всех действительных чисел.
- Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
- График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
- Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
- Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция. - Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
- График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
ось ординат OY — в точке (0; b). - x=-b/k — является нулем функции.
- Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х. - Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, – b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, – b /k). - Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
Если k > 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
- если k > 0, то график наклонен вправо;
- если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
- если b 1 /2x + 3, y = x + 3.
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = – 1 /2x + 3, y = -x + 3.
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x – 2.
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
- график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
- график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
- график функции y = 2x – 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png” style=”height: 600px;”>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png” style=”height: 600px;”>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
- С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b). - С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = – b /k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
- В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
2 = -4(-3) + b
b = -10 - Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x – 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
- Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство. - Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
- Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
График линейной функции (ЕГЭ 2022)
Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое линейная функция.
Начнем с небольшой проверки:
Если хоть один вопрос вызвал затруднения, прочти тему «Линейная функция».
Приступим к покорению линий и графиков!
График линейной функции — коротко о главном
График линейной функции – прямая линия. Прямую можно провести через две точки.
Чтобы построить график линейной функции вида y=kx+b, нужно:
- вычислить координаты любых двух точек (взять любые два значения аргумента x и вычислить соответствующие два значения y,
- для каждой пары ( x;y ) найти точку в системе координат, и провести прямую через эти две точки.
Рассмотрим пример для функции ( y=2x+1):
Проще всего найти функцию, если аргумент: ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).
Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).
Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).
Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).
Угловой коэффициент ( displaystyle k) – это тангенс угла наклона прямой.
Для его нахождения выберем две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой ( displaystyle AB)
( displaystyle k=tgalpha =frac
Построение графика линейной функции
Итак, ты уже умеешь обращаться с линейной функцией, анализировать ее график и строить его по точкам. Кстати, сколько нужно точек, чтобы построить график линейной функции?
Скажу сразу, эта тема настолько простая, что много нового ты здесь не выучишь. Но ты научишься не теряться во всяких нестандартных ситуациях.
Итак, дамы и господа, линейная функция:
Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, ( displaystyle 0) и ( displaystyle 1)), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.
Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.
Но бывает, что функция задана по-другому, например, неявно. Сейчас разберем, как быстро справляться с такими ситуациями.
Пример неявно заданной линейной функции
Постройте график уравнения ( displaystyle 2y+3x=6).
Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам.
Это да, но можно сделать проще и интересней!
Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось ( displaystyle Ox).
Что характерно для этой точке? Правильно, ( displaystyle y=0). Так и пишем:
( displaystyle 2cdot 0+3x=6text< >Rightarrow text< >x=2)
А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось ( displaystyle Oy)?
( displaystyle x=0text< >Rightarrow text< >2y+3cdot 0=6text< >Rightarrow text< >y=3)
Бум! Вот и они – две точки графика. Осталось только приложить линейку:
Согласись, это было быстро и просто!
А теперь сам:
Ладно, а как еще можно задать функцию?
Ну, например словесно:
Прямая проходит через точку ( displaystyle Aleft( 2;3 right)), а ее угловой коэффициент равен ( displaystyle 0,75).
Ну что же, вспоминаем: что такое угловой коэффициент?
Что такое угловой коэффициент
Это, с одной стороны, коэффициент при ( displaystyle x), а с другой – это тангенс угла между прямой и осью ( displaystyle Ox).
Вот это мы и используем когда делаем построение графика линейной функции: ставим точку ( displaystyle A), и рисуем прямоугольный треугольник так, что один его катет параллелен оси ( displaystyle Ox), а другой – перпендикулярен.
При этом второй катет должен быть ровно в ( displaystyle 0,75) раз больше первого.
Очень удобно в этом случае, чтобы первый катет был равен ( displaystyle 4), тогда второй будет равен ( displaystyle 3):
4 примера построения графика линейных функций
Пример №1
Прямая, уравнение которой имеет вид ( y=-2x+b) (( b) неизвестно), проходит через точку ( Mleft( 1;2 right)). Постройте ее.
Должно получиться вот так:
Пример №2
Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку ( Aleft( 3;1 right)) и параллельной прямой ( y=-1,5x+1).
Строить график прямой ( y=-1,5x+1) нельзя.
О, это что-то новенькое. Про параллельность прямых мы еще не учили.
Но как обычно, все просто. Нарисуем несколько параллельных прямых на координатной плоскости:
Что у них общего? Вообще, какие параметры важны для графиков? Конечно же, коэффициенты ( k) и ( b).
И сразу становится ясно: раз ( k) отвечает за наклон, а наклон у них одинаковый (это же параллельные прямые, а ось ( Ox) – секущая), значит, у них одинаковый коэффициент ( k)!
Вернемся к задаче. Напомню условие:
Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку ( Aleft( 3;1 right)) и параллельной прямой ( y=-1,5x+1).
Итак, угловой коэффициент нашей прямой ( y=-1,5x+1) равен угловому коэффициенту прямой , то есть ( -1,5). Теперь задача становится точь в точь как мы решали до этого:
Линейная функция « y = kx + b » и её график
Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.
Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .
Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.
Примеры функций типа « y = kx + b ».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y =
2 3 x − 2
- y = 0,5x
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .
Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».
Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.
Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .
Как построить график линейной функции
« y = kx + b »
Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .
Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.
Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».
Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».
Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет « y = −2x + 1 » |
|---|---|
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » (абсцисса) | Координата по оси « Оy » (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».
Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »
Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:
- значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
- значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » | Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».
Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».
Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .
Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
- из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
- полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « x » | Полученное с графика значение « y » |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси « Oy » .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « y » | Полученное с графика значение « x » |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −
| 1 |
| 3 |
) и (1; −2) .
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» координаты точки (0; −
| 1 |
| 3 |
) .
−
| 1 |
| 3 |
= 2 · 0 −
| 1 |
| 3 |
−
| 1 |
| 3 |
= −
| 1 |
| 3 |
(верно)
Это означает, что график функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» проходит через точку с координатами (0; −
| 1 |
| 3 |
) .
Проверим точку с координатами (1; −2) . Также подставим координаты
в функцию « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
».
−2 = 2 · 1 −
| 1 |
| 3 |
−2 = 2 −
| 1 |
| 3 |
−2 = 1
| 3 |
| 3 |
−
| 1 |
| 3 |
−2 = 1
| 2 |
| 3 |
(неверно)
Это означает, что график функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» не проходит через точку с координатами (1; −2) .
Как найти точки пересечения графика с осями
Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.
Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».
Выберем два произвольных числовых значения для « x » и рассчитаем значение « y » по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1 .
| Точка | Координата по оси « Оx » | Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».
Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:
- приравнять координату точки по оси « Ox » к нулю (x = 0) ;
- подставить вместо « x » в формулу функции ноль и найти значение « y »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .
Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:
- приравнять координату точки по оси « Oy » к нулю (y = 0) ;
- подставить вместо « y » в формулу функции ноль и найти значение « x »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .
Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью « Ox » , то приравниваем « y » к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью « Oy » , то приравниваем « x » к нулю.
Линейная функция, ее свойства и график
теория по математике функции
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
- Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
- Областью значений также является множество всех действительных чисел.
- Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
- При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
- При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
- При k=0 прямая параллельна оси х.
- Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
| х | 0 | 3 |
| у |
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
у=2х – 1=2 × 0 – 1= –1;
у=2х – 1=2 × 3 – 1= 5.
Вписываем в таблицу значения у:
| х | 0 | 3 |
| у | –1 | 5 |
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
| х | 0 | 2 |
| у | 4 | –2 |
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
График данной функции зависит от k и b.
- если k 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
- коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b 0, то выше ноля в точке y = b
- если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Что такое линейная функция: определение, формула, график
В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная функция, а также приведем ее формулу и график. Представленная информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
- Определение линейной функции
- График линейной функции
Определение линейной функции
Линейная функция – это функция, которая имеет вид .
- x – независимая переменная (аргумент);
- a и b – произвольные числа.
Подставляя в эту формулу конкретные значения x, мы можем рассчитать соответствующие им значения y.
Пример: дана функция y = 2x – 3. Составим для нее таблицу соответствия x и y.
| 0 | -3 | 2 ⋅ 0 – 3 = -3 |
| 1 | -1 | 2 ⋅ 1 – 3 = -1 |
| 2 | 1 | 2 ⋅ 2 – 3 = 1 |
| 3 | 3 | 2 ⋅ 3 – 3 = 3 |
График линейной функции
Графиком линейной функции y = ax + b является непрерывная прямая линия. При этом она может быть:
- возрастающей при a > 0 (значение y монотонно увеличивается);
- убывающей при a
Линейная функция.
Линейной функцией называется функция, заданная формулой y = kx + b , где k и b – любые действительные числа.
Графиком линейной функции является прямая.
Если k = 0, то функция y = b называется постоянной. Её графиком, является прямая, параллельная оси Ox.
Если b = 0, то формула y = kx задает прямо пропорциональную зависимость. Графиком такой функции является прямая, проходящая через начало координат.
Верно и обратное – любая прямая, не параллельная оси Oy, является графиком некоторой линейной функции.
Построить график линейной функции очень легко.
Положение любой прямой однозначно определяется заданием двух её точек. Поэтому линейная функция вполне определяется заданием её значений для двух значений аргумента. Например,
| x | 0 | 1 |
| y | b | k + b |
Если Вы являетесь моим учеником или подписчиком, то можете поработать с интерактивными версиями этих графиков.
Свойства линейной функции при k ≠ 0, b ≠ 0.
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел: R или (−∞; ∞).
2) Функция y = kx + b ни четна, ни нечетна.
3) При k > 0 функция монотонно возрастает, а при k Упражнение:
На рисунке представлены 4 прямые линии. Могут ли они являться графиками функций? Если да, то определите каких.
Прямые, наклоненные к оси абсцисс под острым или тупым углом – графики линейной функции общего вида: y = kx + b. Параметр b легко определить по точке пересечения линии с осью ординат (Oy). Параметр k определяется построеним по клеточкам треугольника, содержащего угол α для острых углов или смежный с ним – для тупых. Точные ответы на рисунке.
Прямая, параллельная оси абсцисс (здесь – горизонтальная линия), является графиком частного вида линейной функции y = b, который называют постоянной или константой. Значение этой функции не изменяется, поэтому ординаты точки графика всегда находятся на одной высоте относительно оси Ox.
Следующая прямая линия НЕ является графиком какой-либо функции. Здесь нет однозначности. Если x = 6, то y = ? Любому действительному числу! Т.е., для неё не удовлетворяется определение функции, а именно условие, что каждому значению аргумента x должно соответствовать единственное значение функции y. Но такие линии нам тоже встречаются, например, в качестве вертикальных асимптот. Поэтому нужно знать, что их уравнение x = a, где а – заданное число.
Видеоуроки для подготовки к ОГЭ по математике. 9 класс.
Подробное исследование коэффициентов линейной функции.
Примеры решения заданий ОГЭ по математике.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь – mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
Алгебра. Урок 5. Графики функций
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Декартова система координат
- Функция
Декартова система координат
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.
Функция
Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .
Прямая
Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :
Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a = 0 , функция принимает вид y = b .
Отдельно выделим график уравнения x = a .
Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Парабола
Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a 0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
- Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D > 0 – две точки пересечения.
- Если D = 0 – одна точка пересечения.
- Если D 0 – нет точек пересечения.
Гипербола
Графиком функции y = k x является гипербола .
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
0″ height=”346″ width=”346″ sizes=”(max-width: 346px) 100vw, 346px” data-srcset=”/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png”>
Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .
Квадратный корень
Функция y = x имеет следующий график:
Возрастающие/убывающие функции
Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Загрузка...