Производная сложной функции – определение, формулы и примеры вычислений

Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

Правила вычисления производных

Таблица производных часто встречающихся функций

Таблица производных сложных функций

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

Определение . Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

где c – любое число

где a – любое положительное число, не равное 1

y = arcsin x ,

y = arccos x ,

где c – любое число

Формула для производной:

где c – любое число

Формула для производной:

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y = arcsin x ,

Формула для производной:

y = arccos x ,

Формула для производной:

Таблица производных сложных функций

В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .

где c – любое число.

где a – любое положительное число, не равное 1

где

Производная сложной функции

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y = sin x – ( 2 – 3 ) · a r c t g x x 5 7 x 10 – 17 x 3 + x – 11 , то ее нельзя считать сложной в отличие от y = sin 2 x .

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f ( g ( x ) ) . Имеем, что функция g ( x ) считается аргументом f ( g ( x ) ) .

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g ( x ) = ln x – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f ( g ( x ) ) запишется как arctg(lnx). Или функция f , являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g ( x ) = x 2 + 2 x – 3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f ( g ( x ) ) = ( x 2 + 2 x – 3 ) 4 .

Очевидно, что g ( x ) может быть сложной. Из примера y = sin 2 x + 1 x 3 – 5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y = f ( f 1 ( f 2 ( x ) ) ) . Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f 1 – функция, располагаемая под квадратным корнем, f 2 ( x ) = 2 x + 1 x 3 – 5 – дробная рациональная функция.

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) .

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x )

Примеры

Найти производную сложной функции вида y = ( 2 x + 1 ) 2 .

Решение

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g ( x ) = 2 x + 1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f ‘ ( g ( x ) ) = ( ( g ( x ) ) 2 ) ‘ = 2 · ( g ( x ) ) 2 – 1 = 2 · g ( x ) = 2 · ( 2 x + 1 ) ; g ‘ ( x ) = ( 2 x + 1 ) ‘ = ( 2 x ) ‘ + 1 ‘ = 2 · x ‘ + 0 = 2 · 1 · x 1 – 1 = 2 ⇒ ( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = 2 · ( 2 x + 1 ) · 2 = 8 x + 4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y = ( 2 x + 1 ) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Отсюда имеем, что

y ‘ = ( 4 x 2 + 4 x + 1 ) ‘ = ( 4 x 2 ) ‘ + ( 4 x ) ‘ + 1 ‘ = 4 · ( x 2 ) ‘ + 4 · ( x ) ‘ + 0 = = 4 · 2 · x 2 – 1 + 4 · 1 · x 1 – 1 = 8 x + 4

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g ( x ) .

Следует найти производные сложных функций вида y = sin 2 x и y = sin x 2 .

Решение

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g ( x ) – функцией синуса. Тогда получим, что

y ‘ = ( sin 2 x ) ‘ = 2 · sin 2 – 1 x · ( sin x ) ‘ = 2 · sin x · cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g ( x ) = x 2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y ‘ = ( sin x 2 ) ‘ = cos ( x 2 ) · ( x 2 ) ‘ = cos ( x 2 ) · 2 · x 2 – 1 = 2 · x · cos ( x 2 )

Формула для производной y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) запишется как y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) · . . . · f n ‘ ( x )

Найти производную функции y = sin ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) .

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) обозначим, где f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ( x ) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е , функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) · f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) · f 4 ‘ ( x )

Получаем, что следует найти

f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) = cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) .
f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) в качестве производной степенной функции, тогда f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) = 3 · ln 3 – 1 a r c t g ( 2 x ) = 3 · ln 2 a r c t g ( 2 x ) .
f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) в качестве производной логарифмической, тогда f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) = 1 a r c t g ( 2 x ) .
f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) в качестве производной арктангенса, тогда f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) = 1 1 + ( 2 x ) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
При нахождении производной f 4 ( x ) = 2 x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1 , тогда f 4 ‘ ( x ) = ( 2 x ) ‘ = 2 · x ‘ = 2 · 1 · x 1 – 1 = 2 .

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) · f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) · f 4 ‘ ( x ) = = cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) · 3 · ln 2 a r c t g ( 2 x ) · 1 a r c t g ( 2 x ) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) · ln 2 a r c t g ( 2 x ) a r c t g ( 2 x ) · ( 1 + 4 x 2 )

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g ( x ) = t g x , f ( g ) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f ‘ ( g ( x ) ) = ( g 2 ( x ) + 3 g ( x ) + 1 ) ‘ = ( g 2 ( x ) ) ‘ + ( 3 g ( x ) ) ‘ + 1 ‘ = = 2 · g 2 – 1 ( x ) + 3 · g ‘ ( x ) + 0 = 2 g ( x ) + 3 · 1 · g 1 – 1 ( x ) = = 2 g ( x ) + 3 = 2 t g x + 3 ; g ‘ ( x ) = ( t g x ) ‘ = 1 cos 2 x ⇒ y ‘ = ( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = ( 2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не считается сложной, так как имеет сумму t g x 2 , 3 t g x и 1 . Однако, t g x 2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g ( x ) = x 2 и f , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y ‘ = ( t g x 2 + 3 t g x + 1 ) ‘ = ( t g x 2 ) ‘ + ( 3 t g x ) ‘ + 1 ‘ = = ( t g x 2 ) ‘ + 3 · ( t g x ) ‘ + 0 = ( t g x 2 ) ‘ + 3 cos 2 x

Переходим к нахождению производной сложной функции ( t g x 2 ) ‘ :

f ‘ ( g ( x ) ) = ( t g ( g ( x ) ) ) ‘ = 1 cos 2 g ( x ) = 1 cos 2 ( x 2 ) g ‘ ( x ) = ( x 2 ) ‘ = 2 · x 2 – 1 = 2 x ⇒ ( t g x 2 ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = 2 x cos 2 ( x 2 )

Получаем, что y ‘ = ( t g x 2 + 3 t g x + 1 ) ‘ = ( t g x 2 ) ‘ + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 ( x 2 ) + 3 cos 2 x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y = log 3 x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · ( x 2 + 1 )

Данная функция может быть представлена в виде y = f ( g ( x ) ) , где значение f является функцией логарифма по основанию 3 , а g ( x ) считается суммой двух функций вида h ( x ) = x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 и k ( x ) = ln 2 x · ( x 2 + 1 ) . Очевидно, что y = f ( h ( x ) + k ( x ) ) .

Рассмотрим функцию h ( x ) . Это отношение l ( x ) = x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 к m ( x ) = e x 2 + 3 3

Имеем, что l ( x ) = x 2 + 3 cos 2 ( 2 x + 1 ) + 7 = n ( x ) + p ( x ) является суммой двух функций n ( x ) = x 2 + 7 и p ( x ) = 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) , где p ( x ) = 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3 , а p 1 – функцией возведения в куб, p 2 функцией косинуса, p 3 ( x ) = 2 x + 1 – линейной функцией.

Получили, что m ( x ) = e x 2 + 3 3 = q ( x ) + r ( x ) является суммой двух функций q ( x ) = e x 2 и r ( x ) = 3 3 , где q ( x ) = q 1 ( q 2 ( x ) ) – сложная функция, q 1 – функция с экспонентой, q 2 ( x ) = x 2 – степенная функция.

Отсюда видно, что h ( x ) = l ( x ) m ( x ) = n ( x ) + p ( x ) q ( x ) + r ( x ) = n ( x ) + 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) q 1 ( q 2 ( x ) ) + r ( x )

При переходе к выражению вида k ( x ) = ln 2 x · ( x 2 + 1 ) = s ( x ) · t ( x ) видно, что функция представлена в виде сложной s ( x ) = ln 2 x = s 1 ( s 2 ( x ) ) с целой рациональной t ( x ) = x 2 + 1 , где s 1 является функцией возведения в квадрат, а s 2 ( x ) = ln x – логарифмической с основанием е .

Отсюда следует, что выражение примет вид k ( x ) = s ( x ) · t ( x ) = s 1 ( s 2 ( x ) ) · t ( x ) .

Тогда получим, что

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · ( x 2 + 1 ) = = f n ( x ) + 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) q 1 ( q 2 ( x ) ) = r ( x ) + s 1 ( s 2 ( x ) ) · t ( x )

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Сложная функция. Производная сложной функции

Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот “сложнейший” процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а (x), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции .

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса :

В результате получим, ясное дело, (cos⁡x). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» – запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» – «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс . Получим:

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус , а потом в котангенс :

(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x ))

Напиши теперь сам функции, где икс:
– сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием (3);
– сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
– сначала в логарифм по основанию (4) , затем в степень (-2).

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» (4) раза:

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше – у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть – какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в (4)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию (2), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: (y=tg⁡(log_2⁡x )). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

(x → log_2⁡x → tg⁡(log_2⁡x ))

Еще пример: (y=cos⁡<(x^3 )>). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: (x → x^3 → cos⁡<(x^3 )>). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть (cos⁡<(x·x·x)>)), а там в кубе косинус (x) (то есть, (cos⁡x·cos⁡x·cos⁡x)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): (y=sin⁡<(2x+5)>). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: (x → 2x+5 → sin⁡<(2x+5)>). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных – два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) – тоже простая функция. Например, (x^7) – простая функция и (ctg x) – тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

(x^7+ ctg x) – простая,
(x^7· ctg x) – простая,
(frac) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
(y=cos<⁡(sin⁡x)>)
(y=5^)
(y=arctg⁡<11^x>)
(y=log_2⁡(1+x))
Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция – это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: (y=tg⁡(log_2⁡x )), функция (log_2⁡x) – внутренняя, а – внешняя.

А в этом: (y=cos⁡<(x^3+2x+1)>), (x^3+2x+1) – внутренняя, а – внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось – будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

Формула эта читается так:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора “по словам” чтобы понимать, что к чему относится:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» – мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция (y=sin⁡(x^3 )). Понятно, что внутренняя функция здесь (x^3), а внешняя . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!): ((>)’=cos⁡).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет (cos⁡(x^3)). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от (x^3).

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции (y=(sin⁡x )^3).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: (x → sin⁡x → (sin⁡x )^3). Значит, в данном примере внутренняя функция это (sin⁡x), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» (sin⁡x), то производная внешней будет (3(sin⁡x)^2). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln(x^2-x)).

Разбираем вложенность функций: (x → x^2-x → ln⁡(x^2-x)).
Внутренняя: (x^2-x). Внешняя: .
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: (ln⁡(x^2-x)’=) (frac<1>) .
Производная внутренней: ((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sin⁡<(cos⁡x)>).
Вложенность функций: (x → cos⁡x → sin⁡<(cos⁡x)>)
Внутренняя: (cos⁡x) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sin<⁡(cos⁡x )>‘=cos⁡)
Производная внутренней: ((cos⁡x )’= -sin⁡x)
Имеем: (y’=(sin⁡<(cos⁡x)>)’=cos⁡·(-sin⁡x )=-cos⁡ ·sin⁡x)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись (cos⁡) на (cos^2⁡x) НЕЛЬЗЯ, так как (cos^2⁡x) – это комбинация простых функций (cos^ 2⁡x=cos⁡x·cos⁡x), а (cos⁡) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sqrt )
Вложенность функций: (x → x^6 → sqrt)
Внутренняя: (x^6) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sqrt‘=) (frac<1><2sqrt>)
Производная внутренней: ((x^6)’= 6x^5)
Имеем: ((sqrt)’=) (frac<1><2sqrt>) (·6x^5)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: (sqrt[b] =x^>). Тогда (sqrt=x^<2>>=x^3). С учетом этого получаем:

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln⁡(x^3)).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: (x → x^3 → ln⁡(x^3 )), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: (log_a⁡=c·log_a<⁡b>). И тогда функция получается (y=ln⁡(x^3 )=3ln⁡x). Отлично! Берем производную:

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции (y=3^).
Вложенность функций: (x → x^4+1 → sin⁡(x^4+1) → 3^)
Внутренняя: (x^4+1) Средняя: Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет (3^·ln⁡3).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, (sin⁡(x^4+1)’=cos⁡(x^4+1)).
И наконец, производная внутренней: ((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=tg⁡(7^x)).

Разбираем вложенность функций: (x : → :7^x : → :tg⁡(7^x)).
Внутренняя: (7^x) Внешняя: (tg⁡(7^x)).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет: (frac<1>) .
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: ((7^x)’=7^x·ln⁡7).
И перемножаем результаты:

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

Но давай снова воспользуемся свойством корня (sqrt[b] =x^>) и преобразуем нашу функцию к виду:

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: (x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^<3>>)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: (x^5+2x-5). Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: . Получаем: . Тогда в нашем случае будет: (frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-frac<1><3>>).
Производная внутренней: ((x^5+2x-5)’=5x^4+2).
Общий результат: (y ‘=(sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>)’=((x^5+2x-5)^<3>> )’=frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-frac<1><3>>·(5x^4+2)).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени (a^<-n>=) (frac<1>) . Получаем:

Ну, и перемножаем дроби.

ВСЁ. А теперь сам.

Найти производные функций:

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

(x → 1+x → log_2⁡ <(1+x)>)
(x → 11^x → arctg⁡(11^x) )
(x → x^7 → 5^)
(x → sin⁡x → cos⁡(sin⁡x))

Примеры решения производных с ответами

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

0, c neq 1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”20″ width=”219″ style=”vertical-align: -5px;” data-src=”https://nauchniestati.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6de2737be737636e1e7a1dd4591cc8c6_l3.svg” />
0, c neq 1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”20″ width=”180″ style=”vertical-align: -5px;” data-src=”https://nauchniestati.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13dcb3c76320d25c630cbd07af265a41_l3.svg” />

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

– производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

.
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:

.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
.
Учитывая, что и , после упрощения получим:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
.

Ответ

Производная сложной функции

п.1. Понятие сложной функции

Рассмотрим функцию (z(x)=sin^3⁡x)

Базовым аргументом этой функции является x. Сначала от x берется синус, а потом синус возводится в куб: $$ y=f(x)=sin⁡x, z=g(y)=y^3=(sin⁡x)^3=g(f(x)) $$

В композицию может входить сколько угодно функций.
Термин «сложная функция» также используется в более узком смысле к композициям вида: (z=g(f(x),h(x))), т.е. когда на вход внешней функции подается несколько различных внутренних функций.

Для наших целей (поиска производной) мы будет символически изображать цепочку последовательных отображений x в таком виде: $$ xrightarrow sinxrightarrow(boxdot)^3 $$ где квадрат с точкой означает сложный аргумент, от которого берется функция на очередном шаге. Легко заметить, что аргументом на следующем шаге становится всё функциональное выражение из предыдущего шага.
Например:
Цепочка отображений x для функции (z(x)=lnleft(⁡(tg^2(4x+1)right)) имеет вид:
(xrightarrow(4x+1)rightarrow tgboxdot rightarrow(boxdot)^2rightarrow lnboxdot )

п.2. Теорема о производной сложной функции

Введем следующее обозначение производной (обозначение Лейбница):
(f'(x)overset<=>frac) – читается «де эф по де икс».
Это обозначение удобно, т.к. показывает и функцию и аргумент, по которому идет дифференцирование. Например:
(z'(y)=frac, varphi ‘(t)=frac

) и т.д.

Пусть внутренняя функция (y=f(x)), а внешняя (z=g(y)=g(f(x))).
При этом внутренняя функция дифференцируема в точке (x_0), а внешняя функция дифференцируема в точке (y_0=f(x_0)).
Справедлива следующая теорема:

Доказательство:
По определению производная внешней функции в точке $y_0$ равна:
$$ g'(y_0)=lim_frac=frac $$ Перепишем это выражение в виде: (triangle z=g'(y_0)triangle y+varepsilon(triangle y)cdottriangle y),
где отклонение (varepsilon(triangle y)) зависит от величины приращения (triangle y), причем: $$ lim_varepsilon(triangle y)=varepsilon(0)=0 $$ Кроме того, т.к. внутренняя функция непрерывна: $$ lim_varepsilon(triangle y)=varepsilonleft(lim_triangle yright)=varepsilon(0)=0 $$ Также, поскольку внутренняя функция дифференцируема, существует предел: $$ f'(x_0)=lim_frac=frac $$ Составим отношение: $$ frac=g'(y_0)frac+varepsilon(triangle y)cdotfrac $$ Перейдем к пределу: begin z'(x_0)=lim_frac=lim_left(g'(y_0)frac+varepsilon(triangle y)cdotfracright)=\ =g'(y_0)lim_frac+lim_varepsilon(triangle y)cdot lim_frac=g'(y_0)cdot f'(x_0)+0=g'(y_0)cdot f'(x_0) end Или: $$ frac=fraccdotfrac $$ Что и требовалось доказать.

п.3. Алгоритм дифференцирования сложной функции

Шаг 1. Составить символическую цепочку отображений базового аргумента слева направо, от самого аргумента до последней внешней функции.
Шаг 2. Провести дифференцирование цепочки отображений справа налево, от последней внешней функции до базового аргумента.
Шаг 3. Записать итоговую производную сложной функции как произведение полученных производных.

Например:
Найдем производную функции (z(x)=ln⁡left(tg^2(4x+1)right))
Цепочка отображений: (xrightarrow(4x+1)rightarrow tgboxdotrightarrow (boxdot)^2rightarrowlnboxdot)
Дифференцируем цепочку справа налево:

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ lnboxdot $$	$$ frac<1>boxdot $$	$$ boxdot=tg^2(4x+1) $$	$$ frac<1>=frac<1> $$
2	$$ (boxdot)^2 $$	$$ 2boxdot $$	$$ boxdot=tg(4x+1) $$	$$ 2boxdot=2tg(4x+1) $$
3	$$ tgboxdot $$	$$ frac<1> $$	$$ boxdot=4x+1 $$	$$ frac<1>=frac<1> $$
4	$$ 4x+1 $$	$$ 4 $$	$$ – $$	$$ 4 $$

п.4. Примеры

Пример 1. Составьте цепочку отображений x для функций:
a) ( y=2cos^3x ) begin xrightarrow 3xrightarrow cosboxdotrightarrow (boxdot)^2rightarrow 2boxdot end

в) ( y=lgleft(tg^2left(frac<1><3x^3-4>right)right) ) begin xrightarrow (3x^2-4)rightarrow frac<1>rightarrow tgboxdotrightarrow (boxdot)^2rightarrow lnboxdot end

г) ( y=sin^3left(frac<1>right)^5 ) begin xrightarrow (x^3+5)rightarrow cosboxdotrightarrow frac<1>rightarrow (boxdot)^5rightarrow sinboxdotrightarrow (boxdot)^3 end

Пример 2. Найдите производную функции:
a) ( y=sin2x ) begin xrightarrow 2xrightarrow sinboxdot end

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ sinboxdot $$	$$ cosboxdot $$	$$ boxdot=2x $$	$$ cosboxdot=cos2x $$
2	$$ 2x $$	$$ 2 $$	$$ – $$	$$ 2 $$

begin y'(x)=cos2xcdot 2=2cos2x end

б) ( y=tg(x^2+2x-1) ) begin xrightarrow (x^2+2x-1)rightarrow tgboxdot end

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ tgboxdot $$	$$ frac<1> $$	$$ boxdot=x^2+2x-1 $$	$$ frac<1>=frac<1> $$
2	$$ x^2+2x-1 $$	$$ 2x+2 $$	$$ – $$	$$ 2x+2 $$

в) ( y=sqrt ) begin xrightarrow (2x+1)rightarrow cosboxdotrightarrow sqrt end

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ sqrt $$	$$ frac<1><2sqrt> $$	$$ boxdot=cos(2x+1) $$	$$ frac<1><2sqrt>=frac<1><2sqrt> $$
2	$$ cosboxdot $$	$$ -sinboxdot $$	$$ boxdot=2x+1 $$	$$ -sinboxdot=-sin(2x+1) $$
3	$$ 2x+1 $$	$$ 2 $$	$$ – $$	$$ 2 $$

г) ( y=frac<3>> ) begin xrightarrow (5x-3)rightarrow cosboxdotrightarrow sqrtrightarrowfrac<3> end

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ frac<3> $$	$$ -frac<3> $$	$$ boxdot=sqrt $$	$$ -frac<3>=-frac<3>right)^2> $$
2	$$ sqrt $$	$$ frac<1><2sqrt> $$	$$ boxdot=cos(5x-3) $$	$$ frac<1><2sqrt>=frac<1><2sqrt> $$
3	$$ cosboxdot $$	$$ -sinboxdot $$	$$ boxdot=5x-3 $$	$$ -sinboxdot=-boxdot(5x-3) $$
4	$$ 5x-3 $$	$$ 5 $$	$$ – $$	$$ 5 $$

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ sqrt $$	$$ frac<1><2sqrt> $$	$$ boxdot=frac<1-sinx> $$	$$ frac<1><2sqrt>=frac<1><2sqrt>> $$
2	$$ frac<1-sinx> $$	$$ -frac<1-sinx> $$	$$ – $$	$$ -frac<1-sinx> $$

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ boxdot^4 $$	$$ 4boxdot^3 $$	$$ boxdot=frac<1-sinx> <1+cosx>$$	$$ 4boxdot^3=4left(frac<1-sinx><1+cosx>right)^3 $$
2	$$ frac<1-sinx> <1+cosx>$$	$$ frac <(1+cosx)^2>$$	$$ – $$	$$ frac <(1+cosx)^2>$$

в) ( y=sin(sin(sinx)), x_0=pi ) begin xrightarrow sinxrightarrow sinboxdotrightarrow sinboxdot end

Функция	Производная от функции	Аргумент в производной	Итоговый множитель
1	$$ sinboxdot $$	$$ cosboxdot $$	$$ sin(sinx) $$	$$ cos(sin(sinx)) $$
2	$$ sinboxdot $$	$$ cosboxdot $$	$$ sinx $$	$$ cos(sinx) $$
3	$$ sinx $$	$$ cosx $$	$$ – $$	$$ cosx $$

begin y'(x)=cos(sin(sinx))cdot cos(sinx)cdot cosx end Подставляем (x_0=pi): begin y'(pi)=cos(sin(sinpi))cdot cos(sinpi)cdot cospi=cos 0cdot cos 0cdot(-1)=1cdot 1cdot(-1)=-1 end Ответ: -1

Пример 4*. При каких значениях x производная функции (f(x)) равна нулю?
a) ( f(x)=sin3x-sqrt<3>cos3x+3(cosx-sqrt<3>sinx) )
Берем производную: begin f'(x)=3cos3x+3sqrt<3>sin3x+3(-sinx-sqrt<3>cosx)=\ =3(cos3x+sqrt<3>sin3x)-3(sinx+sqrt<3>cosx) end По условию: begin 3(cos3x+sqrt<3>sin3x)-3(sinx+sqrt<3>cosx)=0\ cos3x+sqrt<3>sin3x=sinx+sqrt<3>cosx |cdotfrac12\ frac12cos3x+frac><2>sin3x=frac12sinx+frac><2>cosx\ cosfracpi 3cos3x+sinfracpi 3sin3x=sinfracpi 6sinx+cosfracpi 6cosx\ cosleft(3x-fracpi 3right)=cosleft(x-fracpi 6right)\ cosleft(3x-fracpi 3right)-cosleft(x-fracpi 6right)=0\ -2sinfrac<3x-fracpi 3+xfracpi 6><2>sinfrac<3x-fracpi 3-x+fracpi 6><2>=0\ left[ begin sinleft(2x-fracpi 4right)=0\ sinleft(x-frac<12>right)=0 end right. Rightarrow left[ begin 2x-fracpi 4=pi k\ x-frac<12>=pi k end right. Rightarrow left[ begin 2x=fracpi 4+pi k\ x=frac<12>+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi 8+frac<2>\ x=frac<12>+pi k end right. end
Ответ: (left<2>; frac<12>+pi kright>)

б) ( f(x)=20cos3x+12cos5x-15cos4x )
Берем производную: begin f'(x)=-3cdot 20sin3x-5cdot 12sin5x+4cdot 15sin4x=\ =60(-sin3x-sin5x+sin4x) end По условию: begin 60(-sin3x-sin5x+sin4x)=0\ (sin3x+sin5x)-sin4x=0\ 2sinfrac<3x+5x><2>cosfrac<3x-5x><2>-sin4x=0\ 2sin4xcosx-sin4x=0\ sin4x(2cosx-1)=0\ left[ begin sin4x=0\ 2cosx-1=0 end right. Rightarrow left[ begin 4x=pi k\ cosx=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=frac<4>\ x=pmfrac<3>+2pi k end right. end
Ответ: (left<4>; pmfrac<3>+2pi kright>)

Производная сложной функции.

Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от .

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.

При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования, так что держите их перед глазами.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)) . То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)) .

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx) . Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а – целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций), тогда .

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как . Здесь f – функция синуса, – функция извлечения квадратного корня, – дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом .

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции.

Найти производную сложной функции .

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.

Вот подробное решение с использованием формулы производной сложной функции:

Давайте найдем эту производную, предварительно упростив вид исходной функции.

Следовательно,

Как видите, результаты совпадают.

Постарайтесь не путать, какая функция есть f , а какая g(x) .

Поясним это примером на внимательность.

Найти производные сложных функций и .

В первом случае f – это функция возведения в квадрат, а g(x) – функция синуса, поэтому
.

Во втором случае f – это функция синуса, а – степенная функция. Следовательно, по формуле произведения сложной функции имеем

Формула производной для функции имеет вид

Продифференцировать функцию .

В этом примере сложную функцию можно условно записать как , где – функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e , функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.

По формуле производной сложной функции

как производную синуса из таблицы производных:
– как производную степенной функции:
– как производную логарифмической функции:
– как производную арктангенса:
При дифференцировании выносим двойку за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем равным единице:

Собираем воедино полученные промежуточные результаты:

Страшного ничего нет, разбирайте сложные функции как матрешки.

На этом можно было бы и закончить статью, если бы ни одно но…

Желательно отчетливо понимать, когда применять правила дифференцирования и таблицу производных, а когда формулу производной сложной функции.

СЕЙЧАС БУДЬТЕ ОСОБЕННО ВНИМАТЕЛЬНЫ. Мы поговорим об отличии функций сложного вида от сложных функций. От того, насколько Вы видите это различие, и будет зависеть успех при нахождении производных.

Начнем с простых примеров. Функцию можно рассматривать как сложную: g(x) = tgx , . Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции

А вот функцию сложной уже назвать нельзя.

Эта функция представляет собой сумму трех функций , 3tgx и 1 . Хотя – представляет собой сложную функцию: – степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому, сначала применяем формулу дифференцирования суммы:

Осталось найти производную сложной функции :

Поэтому .

Надеемся, что суть Вы уловили.

Если смотреть более широко, то можно утверждать, что функции сложного вида могут входить в состав сложных функций и сложные функции могут быть составными частями функций сложного вида.

В качестве примера разберем по составным частям функцию .

Во-первых, это сложная функция, которую можно представить в виде , где f – функция логарифмирования по основанию 3 , а g(x) есть сумма двух функций и . То есть, .

Во-вторых, займемся функцией h(x) . Она представляет собой отношение к .

– это сумма двух функций и , где – сложная функция с числовым коэффициентом 3 . – функция возведения в куб, – функция косинуса, – линейная функция.

– это сумма двух функций и , где – сложная функция, – функция экспоненцирования, – степенная функция.

Таким образом, .

В-третьих, переходим к , которая представляет собой произведение сложной функции и целой рациональной функции

– функция возведения в квадрат, – функция логарифмирования по основанию e .

Следовательно, .

Подытожим:

Теперь структура функции понятна и стало видно, какие формулы и в какой последовательности применять при ее дифференцировании.

В разделе дифференцирование функции (нахождение производной) Вы можете ознакомиться с решением подобных задач.

Производная сложной функции

Понятие производной сложной функции

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

Типичная ошибка при решении задач на производные – машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на формулу 9 в таблице производных. Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или, согласно более строгому определению – промежуточным аргументом по независимой переменной x.

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии – приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, “яблоко” – это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x, в свою очередь, является “фаршем” (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на “яблоко”, поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме. Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, “яблока”. Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной “яблока” и производной “фарша”. Можно подавать!

Пример 1.Найти производную функции

Сначала определим, где здесь “яблоко”, то есть функция по промежуточному аргументу u, а где “фарш”, то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень – это функция по промежуточному аргументу, то есть “яблоко”, а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) – это промежуточный аргумент, то есть “фарш”.

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса) находим:

Требуемая в условии задачи производная (готовое “фаршированое яблоко”):

Нахождение производной сложной логарифмической функции имеет свои особенности, поэтому у нас есть и урок “Производная логарифмической функции”.

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 2.Найти производную функции

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение: опять определяем, где “яблоко”, а где “фарш”. Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках – это “яблоко”, то есть функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках – “фарш”, то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x.

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок “Производная логарифмической функции”.

Пример 3.Найти производную функции

Правильное решение. В очередной раз определяем, где “яблоко”, а где “фарш”. Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это “яблоко”, оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени – номер 3 в таблице производных) – это “фарш”, он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Производная сложной логарифмической функции – частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок “Производная логарифмической функции”.

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций

то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 4.Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое – корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень – сложная функция, а то, что возводится в степень – промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y:

Пример 5.Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень – сложная функция, а сам синус – промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y:

Здесь возведение косинуса в степень – сложная функция f[g(x)], а сам косинус – промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат – требуемая производная:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Таблица производных некоторых сложных функций

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции формула производной простой функции принимает другой вид.

1. Производная сложной степенной функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
2. Производная корня от выражения
3. Производная показательной функции
4. Частный случай показательной функции
5. Производная логарифмической функции с произвольным положительным основанием а
6. Производная сложной логарифмической функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
7. Производная синуса
8. Производная косинуса
9. Производная тангенса
10. Производная котангенса
11. Производная арксинуса
12. Производная арккосинуса
13. Производная арктангенса
14. Производная арккотангенса