Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Стереометрия

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды

Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A₁A₂ . A_n , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

Определение 1. Пирамидой ( n – угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 1) .

Точку S называют вершиной пирамиды.

Точки A₁ , A₂ , . , A_n , S часто называют просто вершинами пирамиды.

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

Доказательство. Заметим, что у n – угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n – угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Замечание 2. Если центр основания A₁A₂ . A_n правильной пирамиды SA₁A₂ . A_n обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SA_nA_n-1 и отрезок SC – апофема грани SA₂A₁ .

Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

Ответ.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

V	объем пирамиды
S_бок	площадь боковой поверхности пирамиды
S_полн	площадь полной поверхности пирамиды
S_осн	площадь основания пирамиды
P_осн	периметр основания пирамиды

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Пирамида. Площади поверхностей. Объём

Урок 36. Подготовка к ЕГЭ по математике

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Пирамида. Площади поверхностей. Объём”

Напомним, что пирамида – это многогранник, в основании которого лежит –угольник, а остальные граней – треугольники с общей вершиной.

Многоугольник называется основанием пирамиды.

Треугольники , , …, называются боковыми гранями пирамиды.

Точка – вершиной пирамиды, а отрезки , , …, – её боковыми рёбрами.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Пирамиду с вершиной и основанием называют -угольной пирамидой и обозначают так: .

Диагональное сечение – это сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.

Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней.

Объём пирамиды равен:

Пирамида, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё название.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а все боковые рёбра равны.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины к ребру основания, называется апофемой.

Выше изображена правильная пирамида. – одна из её апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Отметим некоторые свойства правильной -угольной пирамиды.

1. В правильной -угольной пирамиде все боковые рёбра равны между собой.

2. Боковые рёбра равно наклонены к основанию.

3. Из равенства боковых рёбер пирамиды следует и равенство её боковых граней.

4. Боковые грани равно наклонены к основанию.

5. Вершина проектируется в центр основания (основание высоты совпадает с центром основания).

6. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:

7. Объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания и высотой равен:

Параллельное сечение пирамиды – сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Параллельное сечение пирамиды обладает следующими свойствами:

1. сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает на высоте пирамиды и боковых рёбрах пропорциональные отрезки;

2. в сечении получается многоугольник, подобный основанию;

3. площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины.

Усечённая пирамида – это часть пирамиды, заключённая между основанием и параллельным сечением пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – подобные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

Высота усечённой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

Объём усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой пирамиды, или его ещё можно вычислить по следующей формуле:

Правильная усечённая пирамида получается из правильной пирамиды.

Апофема – высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна:

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Дана треугольная пирамида, боковые рёбра которой взаимно перпендикулярны и равны см, см и см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача вторая. Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания см и высотой см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задача третья. Найдите высоту правильной усечённой треугольной пирамиды , если стороны её оснований равны см и см, а боковое ребро равно см.

Задача четвёртая. В пирамиде боковое ребро перпендикулярно основанию и равно ребру . Треугольник – прямоугольный с катетами см и см. Найдите объём пирамиды.

Задача пятая. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с ребром основания, равным см, и боковым ребром, равным см.

Площадь основания пирамиды

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник — равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды — это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

треугольная,
четырехугольная,
шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание — равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание — квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник — находим его площадь:

, где — сторона треугольника.

Основание треугольной пирамиды

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где — сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Основание шестиугольной пирамиды

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды — это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье «Площадь треугольника».

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м 2 . Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим: м 2 .

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами — нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой — высотой. Определяем площадь по формуле:

Площадь пирамиды — определение, свойства и формулы

Геометрические фигуры использовались в Вавилоне. Наиболее активное развитие геометрия получила в Др. Греции. Первый математик, установивший значение объёма и площади пирамиды, — Демокрит. Учёный Евклид предложил систематизировать все данные, полученные о фигуре в XII веке. Он дал первое определение рассматриваемому понятию, сравнив его с телесной фигурой, ограниченной плоскостями.

Описание фигуры

С древнегреческого языка пирамида переводится, как многогранник с несколькими гранями — боковыми и основанием. Первые имеют вид треугольников с одной вершиной. С учётом количества углов фигура делится на треугольную (тетраэдр), четырёхугольную, пятиугольную, шестиугольную, n-угольную. Элементы многогранника:

Развертка — плоская фигура, образованная путём совмещения поверхности тела с плоскостью. Грани и другие элементы не накладываются друг на друга. Развёртка поверхности похожа на гибкую плёнку. По факту, это пятиугольная пирамида с равными сторонами и углами. В плоскости она напоминает звезду.

Свойства и теоремы

Для фигуры характерны некоторые свойства. БР одинаковы, если нижняя сторона вписывается в сферу либо окружность так, что вершина приходится на центр. Другие особенности фигуры:

Боковые рёбра и плоскость нижней стороны формируют равные углы.

Если БР образуют с плоскостью одинаковые углы либо вблизи основания описывается окружность с вершиной в её центре, тогда все БР одинаковые.

Если грани наклонены к плоскости основания под определённым углом, тогда площадь боковой поверхности (БП) пирамиды равна ½ произведения периметра нижней стороны на высоту грани.

При решении задач на сайтах онлайн либо из учебников по геометрии используются теоремы, которые связывают пирамиду с иными телами.

Для расчета нужной величины применяется калькулятор, подходящая формула, свойства многогранников. Учёные доказали, что вокруг пирамиды можно описать сферу, если в основании находится многоугольник с окружностью.

Центр сферы — точка, в которой пересекаются плоскости, проходящие через центральную часть ребер. Из теоремы вытекает, что около прямоугольной, квадратной и правильной пирамиды возможно описать сферу. В фигуру вписывается сфера, если биссекторные плоскости двугранных внутренних углов пересекаются в единой точке. Согласно другой теореме, конус вписан в пирамиду, если их вершины совпадают. Основание фигур и апофемы совпадают. Конус описывается вокруг пирамиды, если БР последней фигуры одинаковые.

Цилиндр находится внутри многоугольника, если любое его основание совмещено с окружностью. Цилиндр описан около пирамиды, если вершина последней фигуры находится на одном из его оснований. Другая его нижняя часть описана внизу пирамиды. Подобное действие возможно, если в основании пирамиды вписан многоугольник.

Для правильной пирамиды (нижняя сторона представлена в виде правильного многоугольника с вершиной в центре) характерны некоторые свойства: равенство БР, гранями являются равнобедренные конгруэнтные (равные) треугольники, внутрь и вокруг легко описывается и вписывается сфера. В последнем случае, когда центры сфер совпадают, сумма плоских углов равняется числу пи, а каждый — π/n, где n — количество сторон фигуры в основании.

Пирамида считается прямоугольной, если одно БР перпендикулярно нижней стороне. В таком случае ребро является высотой. В тетраэдре либо треугольной пирамиде любая грань принимается в качестве основания.

Практические задания

На ЕГЭ выпускники решают задачи с объёмом и площадью куба, правильного многоугольника. Фигуры размещены на плоскости либо в системе координат. Основные формулы, которые применяются для вычисления показателей:

Площадь (S) пирамиды с четырьмя углами и сторонами. Для её расчета потребуется суммировать площади нижних сторон (квадрат и 4 треугольника).

Общая S: S основания+S боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности пирамиды: S бок. пов.=½Pосн.d.

Площадь полной поверхности пирамиды. Для её вычисления понадобится суммировать площади БП и основания.

Площадь усеченной пирамиды: S1+S2+Sбок, где первые два показателя характерны для оснований, в последний для боковой поверхности.

Объём пирамиды: V=1/3Sосн.H.

Задача 1. Дан четырёхугольный многогранник с равными сторонами в 72 и боковыми ребрами — по 164. Нужно найти площадь четырехугольной пирамиды.

Решение: Так как S=Sбок+Sосн, подставив данные в формулу, получается 4S+a ². Так как Sбок состоит из 4-х одинаковых по площади треугольников, а основание представлено в виде квадрата, поэтому для нахождения площади Sбок используется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c).

Для вычисления полупериметра потребуется (a+b+c)/2. В формулу поставляются данные. Выходит, что P=(72+164+164)/2=200. Тогда S=√200 (200−72)(200−164)(200−164)=√200х128х36х36=√100х256х36х36=10х16х6х6х=5760. Подставив данные в формулу, находится площадь: S=4х5760+72х72=28224.

Задача 2. Стороны нижней части в шестиугольном многоугольнике равняются 22, а ребра — 61. Нужно найти Sбок. пов.

Решение: Основание фигуры представлено в форме шестиугольника с одинаковыми сторонами. Его площадь соответствует площади шести треугольников. Их стороны равны 61, 61 и 22. Величина вычисляется по формуле S=6S. Чтобы найти S, применяется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c). Полупериметр равен (a+b+c)/2.

Р=(61+61+22)/2=72. S=√72 (72−61)(72−61)(72−22)=√72х9х9х50=√36х2х9х9х2х25=540.

Данные, подставив в Sбок. пов., приведут к результату 3240. В задаче 1 и 2 можно вычислить площадь через апофему.

Задача 3. Необходимо определить S пов. прав. четырёхугольной пирамиды, когда стороны основания равняются 6, а высота — 4.

Решение: Для определения S вычисляются площади БП и основания. Используется формула Sбок +S осн=4S+ a ². S осн равняется 36, так как оно представлено в виде квадрата со сторонами в 6. БП состоит из 4-х граней либо равных треугольников. Для нахождения площади вычисляется основание и высота фигуры:

Площадь фигуры соответствует половине произведения апофемы и основания. Первый элемент проведён ко второму. Так как известно, что основание равно 6, поэтому находится высота. Если начертить и рассмотреть треугольник, можно заметить, что катет равен 4. Он же является высотой пирамиды. Значение второго катета — 3 (он соответствует ½ ребра основания).

Для вычисления гипотенузы используется теорема Пифагора:

Площадь БП вычисляется следующим образом:

При решении задач рекомендуется ориентироваться на чертеж, использовать общепринятые теоремы и свойства фигур. Для наглядности фигура размещается в плоскости в нескольких проекциях. В старших классах, чтобы найти объём либо площадь, многогранники отображаются с помощью координат, функций косинуса и синуса.

Последние переменные используются, чтобы найти значение углов, как острых, так и тупых. Через полученное число и дополнительные формулы, аксиомы вычисляется площадь разных составных элементов фигуры.

Геометрические фигуры. Правильная пирамида.

Правильная пирамида – когда основанием пирамиды является правильный многоугольник, а высота проецируется в центр основания (или проходит через него).

В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

боковые рёбра правильной пирамиды имеют равную величину;
в правильной пирамиде каждая боковая грань — конгруэнтный равнобедренный треугольник;
во все правильные пирамиды можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
когда центры вписанной и описанной сферы совпадают, значит, сумма плоских углов у вершины пирамиды равняется , а всякий из них соответственно , где n — число сторон многоугольника основания;
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равняется ½ произведения периметра основания на апофему.

Формулы для правильной пирамиды.

V – объем пирамиды,

S – площадь основания пирамиды,

h – высота пирамиды,

Sb – площадь боковой поверхности пирамиды,

a – апофема (не путать с α) пирамиды,

P – периметр основания пирамиды,

n – число сторон основания пирамиды,

b – длина бокового ребра пирамиды,

α – плоский угол при вершине пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

V – объем правильной пирамиды,

h – высота правильной пирамиды,

n – количество сторон правильного многоугольника, основания правильной пирамиды,

a – длина стороны правильного многоугольника.

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

a — сторона правильного многоугольника (AB, BC, CD, DE либо EA) – основания правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Нужно разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы – треугольники, квадраты, отрезки. Дальше, к отдельным элементам применяем знания из курса планиметрии, что очень упрощает определение ответа.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

V – объем правильной пирамиды, которая имеет в основании правильный (равносторонний) треугольник,

h – высота правильной пирамиды,

a – длина стороны основания правильной пирамиды.

Так как правильная треугольная пирамида – это частный случай правильной пирамиды, значит, формулы, верные для правильной пирамиды, оказываются верными и для правильной треугольной.

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.

Площадь пирамиды – определение, свойства и формулы

Пирамида – (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник,
основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие
общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные,
четырехугольные и т. д.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой
пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на
плоскость основания.

– многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса .

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основани

Если все боковые ребра равны, то:

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
высоты боковых граней равны;
площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра
- Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
где — площадь основания и — высота;
- Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
- Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
- Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
где — апофема , — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник , а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
- боковые ребра правильной пирамиды равны;
- в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания [6] ;
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Пирамида

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника (A_1A_2. A_n) и (n) треугольников с общей вершиной (P) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: (PA_1A_2. A_n) .
Пример: пятиугольная пирамида (PA_1A_2A_3A_4A_5) .

Треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки (PA_1, PA_2) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник (A_1A_2A_3A_4A_5) – основанием, точка (P) – вершиной.

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

((a)) боковые ребра пирамиды равны;

((b)) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

((c)) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

((d)) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия ((a), (b), (c), (d)) эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды (PH) . Пусть (alpha) – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из ((a)) следует ((b)) . Пусть (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) .

Т.к. (PHperp alpha) , то (PH) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету (PH) и гипотенузам (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) . Значит, (A_1H=A_2H=. =A_nH) . Значит, точки (A_1, A_2, . A_n) находятся на одинаковом расстоянии от точки (H) , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом (A_1H) . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника (A_1A_2. A_n) .

2) Докажем, что из ((b)) следует ((c)) .

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, (angle PA_1H=angle PA_2H=. =angle PA_nH) .

3) Докажем, что из ((c)) следует ((a)) .

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) .

4) Докажем, что из ((b)) следует ((d)) .

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то (H) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки (H) на стороны основания: (HK_1, HK_2) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП ( (PH) – перпендикуляр на плоскость, (HK_1, HK_2) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные (PK_1, PK_2) и т.д. перпендикулярны сторонам (A_1A_2, A_2A_3) и т.д. соответственно. Значит, по определению (angle PK_1H, angle PK_2H) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники (PK_1H, PK_2H, . ) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы (angle PK_1H, angle PK_2H, . ) равны.

5) Докажем, что из ((d)) следует ((b)) .

Аналогично четвертому пункту треугольники (PK_1H, PK_2H, . ) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки (HK_1=HK_2=. =HK_n) . Значит, по определению, (H) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то (H) – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть (SR) – высота.

2. Т.к. (SR) перпендикулярно любой прямой из основания, то (triangle SRM, triangle SRP) – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники (triangle SRN, triangle SRK) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: [V_>=dfrac13 S_>cdot h]

Следствия

Пусть (a) – сторона основания, (h) – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен (V_>=dfrac<12>a^2h) ,

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен (V_>=dfrac13a^2h) .

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен (V_>=dfrac<2>a^2h) .

4. Объем правильного тетраэдра равен (V_>=dfrac<12>a^3) .

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду (PA_1A_2A_3. A_n) . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида ( (PB_1B_2. B_n) ), а другой называется усеченная пирамида ( (A_1A_2. A_nB_1B_2. B_n) ).

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники (A_1A_2. A_n) и (B_1B_2. B_n) , которые подобны друг другу.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.
Похожие записи: