Определитель матрицы – основные понятия и методы нахождения с примерами

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A – символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 – 2 3 1 = 1 × 1 – 3 × ( – 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  • правило треугольника;
  • правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 – a 31 × a 22 × a 13 – a 21 × a 12 × a 33 – a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 – 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 – 1 = 1 × 2 × ( – 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 – 1 × 2 × 4 – 0 × 3 × ( – 1 ) – 5 × 1 × 1 = ( – 2 ) + 3 + 0 – 8 – 0 – 5 = – 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 – a 31 × a 22 × a 13 – a 21 × a 12 × a 33 – a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 – 2 5 – 1 1 3 0 2 – 2 5 = 1 × 2 × ( – 1 ) + 3 × 1 × ( – 2 ) + 4 × 0 × 5 – 4 × 2 × ( – 2 ) – 1 × 1 × 5 – 3 × 0 × ( – 1 ) = – 2 – 6 + 0 + 16 – 5 – 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 – 1 3 2 1 0 0 – 2 4 5 1 3 2 1 0

  • раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 – 1 3 2 1 0 0 – 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( – 1 ) 3 × 1 – 1 3 – 2 5 1 3 1 0 = – 2 × 1 – 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 – 1 3 – 2 5 1 3 1 0

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 – 1 3 2 1 0 0 – 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( – 1 ) 5 × 2 1 0 – 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( – 1 ) 7 × 0 1 – 1 2 1 0 3 2 1 = – 3 × 2 1 0 – 2 4 5 3 2 1 – 1 × 0 1 – 1 2 1 0 3 2 1

Свойства определителя

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 – нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:


Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Методы вычисления определителей

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| begin <11>& <-2>\ <7>& <5>endright|$

Решение. $left| begin <11>& <-2>\ <7>& <5>endright|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком “плюс”; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “минус”, т.е.

Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Вычислить определитель $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|$ методом треугольников.

Решение. $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

Задание. Вычислить определитель $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>endright|$

Решение. $left| begin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>endright| leftarrow=a_ <11>cdot A_<11>+a_ <12>cdot A_<12>+a_ <13>cdot A_<13>=$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Задание. Вычислить определитель $left| begin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>endright|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель $left| begin <9>& <8>& <7>& <6>\ <5>& <4>& <3>& <2>\ <1>& <0>& <1>& <2>\ <3>& <4>& <5>& <6>endright|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй – пять третьих и от четвертой – три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей – вторую:

$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Задание. Вычислить определитель $Delta=left| begin <-2>& <1>& <3>& <2>\ <3>& <0>& <-1>& <2>\ <-5>& <2>& <3>& <0>\ <4>& <-1>& <2>& <-3>endright|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой – две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $Delta=-80$

Теорема Лапласа

Пусть $Delta$ – определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $left| begin <2>& <3>& <0>& <4>& <5>\ <0>& <1>& <0>& <-1>& <2>\ <3>& <2>& <1>& <0>& <1>\ <0>& <4>& <0>& <-5>& <0>\ <1>& <1>& <2>& <-2>& <1>endright|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки – вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Определитель матрицы.

Определитель матрицы (детерминант матрицы) – это квадратная таблица чисел либо математических символов (Δd).

Определение. Определителем матрицы n×n является число:

где (α1, α2. αn) – перестановка чисел от 1 до n, N (α12. αn) – число инверсий в перестановке, суммирование происходит по всем вероятным перестановкам порядка n.

Определитель матрицы A в основном обозначают как de t(A), |A|, либо ?(A).

Свойства определителя матрицы.

Свойства определителя матрицы – параметры, при помощи которых находится решение всех видов алгебраических матриц.

  1. Определитель единичной матрицы равняется соответственно единице: det (E) = 1.
  2. Определитель матрицы, где две строки (столбца) равны между собой, будет равен нулю.
  3. Определитель матрицы, где две строки (столбца) пропорциональны друг другу также будет равен нулю.
  4. Определитель матрицы, который содержит строку (столбец) с одними нулями, равен нулю.
  5. Определитель матрицы с двумя или более строками (столбцами) линейно зависимыми между собой тоже равен только нулю.
  6. Если произвести транспонирование, значение определителя матрицы от этого не изменится: det (A) = det (A T )
  7. Определитель обратной матрицы: det (A -1 ) = det (A) -1
  8. Определитель матрицы будет неизменен даже если к любой его строке (столбцу) дописать другую строку (столбец), перед этим умноженную на любое число.
  9. Определитель матрицы не будет изменен, если к любой строке (столбцу) дописать линейную комбинацию других строк (столбцов).
  10. При перемене местами двух строк (столбцов) матрицы определитель матрицы получает противоположный знак.
  11. Общий множитель в строке (столбце) легко выносится за знак определителя:
  12. Умножив квадратную матрицуn-того порядка на любое число не равное нулю, то определитель итоговой матрицы будет равен произведению определителя изначально заданной матрицы на это число в степени n: B = k · A => det (B) = k n · det (A), где A матрица n×n, k – число.
  13. При условии, что каждый элемент любой строки определителя равняется сумме 2х слагаемых, исходный определитель равняется сумме 2х определителей, где вместо этой строки подставлены первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с начальным определителем:
  14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы соответствует произведению его диагональных элементов.
  15. Определитель произведения матриц будет соответствовать произведению определителей этих матриц: det (A·B) = det (A) · det (B).

Найти определитель матрицы.

Чтобы найти определитель матрицы необходимо знать основные свойства матриц и последовательность действий при решении матрицы.

  1. Для матриц порядка n=2 определитель находят при помощи формулы: Δ=a11*a22a12*a21
  2. Для матриц порядка n=3 определитель находят через алгебраические дополнения либо при помощи метода Саррюса.
  3. Матрица с размерностью >3 раскладывается на алгебраические дополнения, для которых находятся свои определители (миноры). К примеру, определитель матрицы 4 порядка вычисляется через разложение по строкам либо столбцам.

Для нахождения определителя матрицы, который содержит в матрице функции, используются стандартные методы. К примеру, найти определитель матрицы третьего порядка:

Воспользуемся разложением по первой строке:

Δ = sin(x) × [cos(x) × 2 – 0 × tg(x)] + 1×[1 × 0-2 × cos(x)] = 2sin(x) cos(x) – 2cos(x) = sin(2x) – 2cos(x)

Вычислить определитель матрицы.

Вычислить определитель матрицы можно несколькими методами, которые будут перечислены ниже.

Самым популярным способом вычисления определителя матрицы является метод подбора алгебраических дополнений. Есть более простая версия этого метода – вычисление определителя при помощи правила Саррюса. Эти методы отличны при вычислении определителя простой небольшой матрицы, а если нужно посчитать матрицу большой размерности, тогда могут применяться такие методы вычисления определителя матрицы:

  • вычисление определителя методом понижения порядка,
  • вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду),
  • вычисление определителя методом декомпозиции.

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД (диапазон ячеек).

Нахождение определителя (детерминанта) матрицы

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти определитель (детерминат) матрицы. Теоретический материал сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

  • Что такое определитель матрицы
  • Нахождение определителя
    • Второй порядок
    • Третий порядок
  • Произвольный размер матрицы
    • Разложение определителя по строке или столбцу
    • Приведение определителя к треугольному виду

Что такое определитель матрицы

Чаще всего в различных математических задачах требуется найти определитель матрицы второго и третьего порядка, реже – четвертого и т.д. Сразу отметим, что детерминант можно вычислить только для квадратной матрицы.

Обычно определитель обозначается двумя вертикальными черточками. Т.е. если у нас есть матрица A, то определитель может обозначаться как |A|, буквой D, сокращением “det” или символом .

Важно помнить, что менять числа внутри определителя нельзя.

Нахождение определителя

Результатом нахождение определителя матрицы является обычное число. Давайте рассмотрим самые популярные варианты.

Второй порядок

Пожалуй, это самая легкая задача. Чтобы найти определитель матрицы “два на два” пользуемся формулой ниже:

Пример 1:

Пример 2:

Примечание: Не забываем обращать внимание на знаки элементов матрицы и учитывать их в расчетах.

Третий порядок

Для вычисления определителя матрицы “три на три” следует использовать такую формулу:

Пример:

|A| = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 6 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 – (-1) ⋅ 4 ⋅ 9 – 3 ⋅ 2 ⋅ (-6) – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 144.

Как мы видим, формула длинная, и запомнить ее достаточно сложно. Но есть специальное правило Саррюса (или метод параллельных полосок), благодаря которому ничего запоминать не нужно. Вот, в чем оно заключается.

С правой стороны от определителя мы дописываем первый и второй столбцы, затем проводим линии, как показано на рисунке ниже.

Множители, расположенные на диагоналях красного цвета в формуле участвуют со знаком “плюс”, синего цвета – со знаком минус.

Как мы видим, это те же самые множители, что и в первой формуле, но переставленные местами, что на результат не влияет. Таким образом, используя метод Саррюса, можно значительно снизить риск допущения ошибки в процессе выполнения расчетов.

Произвольный размер матрицы

Разложение определителя по строке или столбцу

Первый вариант: определитель равняется сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Второй вариант: определитель равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения.

Примечание: рекомендуется для разложения выбирать ту строку (столбец), в которой больше всего элементов, равных нулю.

Пример: Вычислим определитель матрицы ниже.

Ее определитель выглядит так:

Решим пример с помощью разложения по первому столбцу.

Теперь мы можем рассчитать детерминант:

|A| = 3 ⋅ 1 ⋅ ((-2) ⋅ 9) – 6 ⋅ 4) + 0 ⋅ (-1) ⋅ (5 ⋅ 9 – 6 ⋅ 1) + 2 ⋅ 1 ⋅ (5 ⋅ 4 – (-2) ⋅ 1)
|A| = 3 ⋅ (-42) + 0 + 2 ⋅ 22 = -126 + 44 = -82

Приведение определителя к треугольному виду

Выполнив элементарные преобразования в отношении строк или столбцов, определитель можно привести к треугольному виду, после чего его можно вычислить путем перемножения элементов главной диагонали.

Пример: найдем определитель матрицы ниже.

Представив матрицу в виде определителя вычтем из элементов третьей строки удвоенную первую строку.

Переставим местами второй и третий столбцы, при этом знак определителя поменяется на противоположный.

Мы получили треугольный вид детерминанта, значение которого равняется произведению элементов главной диагонали.

Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение определителя по элементам строки или столбца, определитель матрицы методом Гаусса

В линейной алгебре важным понятием является определитель матрицы. Он используется для записи систем уравнений. Практически это таблица, заполненная числами. Так как математика строится на грамотной и последовательной системе определений, то для успешного решения задач нужно не только знать определители, но и разбираться в их характеристиках.

Понятие и термины

Кроме математики, матрицы нашли широкое применение в физике и других прикладных науках. Используются они и в программировании, где их называют массивами. Большинство экономических моделей также описывается достаточно простой и компактной матричной формой.

Матрица состоит из столбцов (n) и строк (m). Характеризуется она порядком и размерностью. Обычно говорят, что некий массив В имеет размер m на n. Записывают это как В = . Существует и другой вариант записи: В = (аij), где i и j – индексы, при этом 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n. В учебниках же просто указывается разрядность в виде 2х2, 3х3 и так далее. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно величине столбцов.

Строки и столбцы начинают нумеровать сверху и с левой стороны. Если элементы массива равны нулю, то матрицу называют нулевой. Существует понятие главной диагонали. Располагается она сверху вниз слева. Расположенные на ней элементы называют диагональными. Когда они равны одному, а все остальные члены нулю, массив считается единичным.

Главной характеристикой массива является определитель, или детерминант. Им называют число, соответствующее алгебраической сумме всех возможных произведений столбцов на строки. Другими словами, чтобы найти значение детерминанта, нужно сумму элементов матрицы n умножить на её размерность m. При перемножении знак произведения определяется по числу инверсий. Их чётное количество соответствует положительному знаку, а нечётное – отрицательному.

Определитель — это число, которое определяет степень матрицы. Характеризуется он порядком. Так, определителем первого порядка называют значение, определяемое единственным элементом массива. Записывают его в виде выражения: A = , detA = |A| = a.

С матрицами можно выполнять любые арифметические действия и даже возводить в степень. Определитель вычисляется только в квадратной матрице, то есть в той, у которой число строк равно числу столбцов. Расчёт проводится с использованием специальных операций. Нахождение определителя построено на использовании ряда аксиом, дающих возможность вычислить характеристику матрицы любого порядка.

Параметры определителя

Использование свойств определителей даёт возможность сделать процедуру их вычисления проще. Если взять множество натуральных чисел, записанных в порядке возрастания, K = <1, 2, 3, 4, …, n>, то с ними можно выполнить две операции: перестановку и транспозицию.

Под первой понимается упорядочение множеству чисел другой последовательности. Например, <1, 2, 3, 4>— <1, 4, 3, 2>. То есть <1, 2, 3, 4, …, n>— . Если же в последовательности изменяются только две позиции, а остальные остаются на своих местах, то такую операцию называют транспозицией <1, 2, 3, 4>— <1, 3, 2, 4>. Когда при перестановке нарушается порядок расположения, то множество содержит инверсию kj > ki (j Нахождение значения

Для того чтобы понять, как находить детерминант матрицы, следует понять способы решения простых матриц 2х2 и 3х3. Умея находить их параметр, несложно будет определить детерминант и массив более высокого порядка. В математике матрицу принято записывать в круглых скобках, а определитель в прямых. Обозначают детерминант в формулах как det.

Если дана матрица второго порядка, то есть 2х2, то её определитель ищут по формуле: det = ab – dc, где: а и d – элементы первой строки, b и c – члены второй строки. То есть определитель находят как разность произведений диагональных элементов между собой. Например, пусть задана матрица:

Её параметр будет равняться: det = 13 * 11 – 9 * 1 = 143 – 9 = 134.

Пусть дана некая матрица три на три:

Необходимо найти её определитель. Для массива 3х3 детерминант можно найти двумя способами:

  • правилом Саррюса (треугольника);
  • универсальным методом.

Схематично первый способ можно представить следующим образом:

Для нахождения детерминанта по правилу треугольника нужно перемножить элементы массива, соединённые красными линиями, а затем их сложить. То же самое необходимо сделать с элементами, через которые проходит синяя линия. Затем из первого полученного значения вычесть второе. Вычитаемое и уменьшаемое состоит из трёх слагаемых. Определяются они двумя треугольниками и сумой элементов, стоящих на главной диагонали (сплошная линия).

Определитель будет равным: det = (1* (-1) * 5) + (5 * 2 * 1) + (2 * (-1) * (-2)) – (-2 * (-1) * (-1)) – (2 * 5 * 5) – (1 * 2 * (-1)) = — 5 + 10 + 4 – 2 – 20 + 2 = -11.

Второй способ проще. В его основе лежит метод разложения дискриминанта по первой строке или столбцу. То есть определитель можно найти по следующей формуле: det = a * n1 + b * n2 + c * n3, где: n1 — матрица 2х2, образованная с верхней левой части массива; n2 – матрица, полученная из второго и третьего члена первого столбца и третьего; n3 – массив, образованный из второго и третьего элемента первого столбца и третьего; a, b, c – элементы первой строчки.

Детерминант четвёртого порядка

Более сложной матрицей считается квадрат размером 4х4. Для подсчёта определителя нужно использовать универсальный способ нахождения детерминанта массива 3х3. То есть понадобится раскрыть первую строку и найти минор. Первый элемент в строке умножают на матрицу, образованную квадратом, начинающегося со второго члена следующего от него столбца.

Затем вычитают произведение второго элемента на алгебраическое дополнение, полученное путём вычёркивания первой строки и второго столбца. Далее, прибавляют третий элемент в первой строке и умножают на дополнение этого элемента. На последнем этапе вычитают четвёртый элемент верхней строки, умноженный на соответствующую ему дополнительную матрицу.

Теперь находят дискриминанты полученных матриц 3х3. Важно помнить, что знаки, стоящие перед алгебраическим дополнением, меняются. Если первый член имеет плюс, то перед вторым элементом ставится минус, перед третьим снова плюс и так далее.

Таким образом, массивы с высокими порядковыми номерами решаются методом понижения основного выражения. Если всё будет выполнено правильно, в ответе получится дискриминант, равный -13.

Например, для поиска определителя квадрата 6х6, нужно будет предварительно разложить систему по первой строке на массив низшего порядка 5х5, найти определитель матрицы 4х4, 3х3 и 2х2. Делая всё последовательно блочным методом, допустить ошибку практически невозможно. Если необходимо найти детерминант массивов десятого порядка и выше, то целесообразно находить определитель матрицы на онлайн-калькуляторе.

Стоит напомнить, что детерминант можно найти только для квадратного выражения в прямоугольной матрице. Правило нахождения определителя n порядка было предложено Лапласом. Он доказал и сформулировал теорему, гласящую о том, что величина определителей высшего порядка находится как сумма произведений частей какой-либо строки или столбца на принадлежащее им алгебраическое дополнение.

То есть выполняется разложение определителя по n строке или m столбцу.

Метод Гаусса

Способ Гаусса используется для решения системы уравнений. На их базе составляется массив. Первые столбцы образуют из коэффициентов, стоящих после неизвестных, а последний из значений, расположенных после знака равно. Для нахождения определителя этим способом необходимо выполнить два шага:

  • Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме путём элементарных преобразований.
  • Сосчитать произведение всех элементов, расположенных на главной диагонали треугольного массива, заменив при этом полученный знак определителя на противоположный.

    Например, необходимо найти детерминант системы уравнений:

    n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = — 4.

    2*n1 + 5 * n2 – 4 * n3 = 0.

    -3*n1 + n2 – 3 * n3 = 5.

    На первом этапе составляют матрицу и решают её. Выделяют первую строку и пытаются обнулить все первые коэффициенты. Для этого каждый элемент нужно умножить на такое число, чтобы последующий элемент обнулился. Затем берут другую строку и обнуляют уже вторые элементы. Так, для заданной системы уравнений первую строку необходимо умножить на -2, а затем сложить со второй строкой. То есть первый элемент в первом столбце будет равен: x11 = -2 * 1 + 2 = 0; второй: x22 = -2 * 2 +5 = 1; третий: x33 = -2*(-3) – 4 = 2; четвёртый: x44 = -2* (-4) + 0 = 8.

    Аналогичные действия проводят по отношению к элементам третьей строки. Для обнуления первую строчку умножают уже не на -2, а на тройку. В результате первый столбец будет состоять из двух нулевых элементов. Затем переходят к обнулению элементов во втором столбце. Делают это последовательным умножением третьей строки на – 7. В итоге получится массив с тремя нулевыми членами.

    Опираясь на полученную матрицу, составляют новую систему уравнений:

    n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = -4.

    Затем из последнего равенства находят n3. Полученное значение подставляют во второе уравнение и определяют n2. На последнем этапе, используя найденные величины, вычисляют n1. Для нахождения детерминанта определяют тип матрицы, в этом случае она нижнетреугольная, и вычисляют его значение det = (1 * 1 * (-20)) = -20.

    Найти детерминант небольшого ранга несложно. Но существуют задания, для решения которых нужно не только проявить внимание, но и потратить много времени. Для таких случаев существуют калькуляторы, помогающие выполнить вычисление определителя матрицы онлайн.

    Кроме быстрого определения ответа, они также показывают подробное решение поставленной задачи. Если же доступа к интернету нет, то можно выполнить расчёт и в excel. Делается это с помощью функции «=МОПРЕД».

    Определитель матрицы

    Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

    Умножим обе части первого уравнения на a 22 а второе на –a 12 и сложим. Получим следующее уравнение

    Далее, первое уравнение умножим на –a 21 а второе на a 11 и сложим:

    Пусть Тогда решение системы (1) примет следующий вид:

    Выражение называется определителем матрицы

    Нетрудно заметить, что

    Таким образом, решение системы линейных уравнений можно представить в виде:

    Рассмотрим случай из трех неизвестных и трех уравнений. Пусть дана система линейных уравнений

    Исключим неизвестные x2 и x3. Для этого умножим первое уравнение на a 22a33a32a23, второе на –(a12a33a13a32), третье на a12a23a22a13, и сложим:

    Сделаем следующие обозначения:

    Учитывая, что выражения перед элементами x2 и x3 равны нулю, имеем:

    Выражение называется определителем матрицы

    Элементы Mij называются минорами элементов aij, и являются определителями матрицы (3), полученные вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

    Заметим, что выражение

    является определителем матрицы

    Если определитель (3a) неравен нулю, то x1 вычисляется из следующего выражения:

    Аналогично вычисляются x2 и x3, умножая уравнения системы (2) на соответствующие выражения и суммируя:

    Распространяя вышеизложенное на системы линейных уравнений с n неизвестными и n уравнениями можно сформулировать понятие определителя для квадратной матрицы порядка n.

    Пусть задана матрица

    Определителем порядка n, соответствующим матрице (4), называется число равное

    Сделаем следующее обозначение:

    Тогда выражение (5) можно переписать в следующем виде:

    Aij называется алгебраическим дополнением элемента aij.

    В вышеизложенном выражении определитель вычисляется суммируя произведения всех элементов первого столбца на соответствующие им алгебраические дополнения. Аналогично можно показать, что определитель равна сумме произведений всех элементов какой либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:

    Однако, для вычисления определителя матрицы большой размерности, такой подход требует больших усилий. Ниже мы представим более оптимальный метод вычисления определителя. Для этого сначала изложим некоторые важные свойства определителей.

    Свойства определителей

    1. Перестановка строк меняет знак определителя на обратное.
    2. Общий для всех элементов множитель какой либо строки, можно выносить за знак определителя.
    3. При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой, соответствующие элементы этой строки складываются.
    4. Прибавление одной строки к другой строке, умноженной на число, не изменяет значение определителя.
    5. При замене местами строк и столбцов (при транспонировании) определитель не изменит своего значения.

    Вычисление определителя матрицы с помощью исключения Гаусса

    Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнему треугольному виду с помощью исключения Гаусса. Тогда выражение (7) примет следующий вид:

    где Z– общее количество перестановок. При каждой перестановке строк, изменяется знак определителя на обратное (свойство 1). Если общее число перестановок нечетное, то нужно поменять знак произведения элементов главной диагонали на обратное.

    Онлайн нахождение определителя матрицы

    Для нахождения определителя матрицы вы можете использовать матричный онлайн калькулятор. Для подробного решения используйте онлайн калькулятор для вычисления определителя матрицы.

  • Ссылка на основную публикацию