Периметр равностороннего треугольника – формула и примеры нахождения

В первом случае у фигуры все углы острые, т. е. градусная мера каждого не должна превышать 90 градусов. Если хотя бы один из них эквивалентен 90, треугольник является прямоугольным. Однако когда градусная мера одного из них превышает 90, он принадлежит к третьему типу.

Треугольники классифицируются еще и по сторонам. Распределение на группы происходит по такому принципу:

Равнобедренный треугольник можно считать прямоугольным и тупоугольным. Кроме того, равносторонняя фигура всегда является остроугольной. Далее необходимо перейти к доказательству теоремы о периметре.

Теорема о периметре

Каждому ученику известна формула периметра треугольника для 3 класса. Она является довольно примитивным соотношением, и применяется в абсолютно другом виде в старших классах и высших учебных заведениях. Математики предлагают рассмотреть доказательство теоремы о периметре правильного треугольника. Ее формулировка имеет следующий вид: периметр треугольника равен утроенному произведению одной из его сторон, когда фигура является правильной.

Доказывается утверждение очень просто. Для этого необходимо использовать следующий алгоритм:

Можно найти и другое доказательство теоремы, в которой используется прямоугольник. В фигуре нужно провести диагонали, а затем по формуле Пифагора выразить боковые стороны. Однако процесс доказательства утверждения является более сложным.

У каждой теоремы есть какие-либо следствия. Они позволяют существенно оптимизировать вычисления при решении задач. Далее необходимо рассмотреть полезные формулы.

Полезные формулы

Для вычисления различных параметров треугольника применяются определенные формулы. Кроме того, вводится новая величина, которая называется полупериметром. Она обозначается литерой «р» и составляет половину от периметра, т. е. р=Р/2. Специалисты рекомендуют использовать следующие формулы (если известны исходные параметры):

Последнее соотношение редко применяется при решении задач. Однако при известных величинах площади и одной из сторон правильного треугольника значения можно подставить сразу в формулу, а не тратить время на вычисление высоты.

Пример решения задачи

Для закрепления теоретического материала нужно решить задачу по геометрии. Ее условие имеет следующий вид:

В задаче нужно найти значение стороны. Чтобы выполнить эту операцию, необходимо составить 2 уравнения. Однако для начала требуется обозначить неизвестную величину переменной «t». В результате получается следующая система алгебраических выражений с неизвестными:

Чтобы вычислить величину переменной, необходимо выразить ее в первом тождестве, т. е. t=S-8. После этого нужно подставить все известные значения: t=12*(3)^(½) — 8 = 4*(3)^(½). Для проверки правильности решения нужно воспользоваться вторым соотношением, которое позволит вычислять площадь: 4*(3)^(½) * 3 = 12*(3)^(½).

Из последнего расчета можно сделать вывод, что сторона треугольника определена правильно и равна 4*(3)^(½). Значение периметра в этом случае будет равно 12*(3)^(½) сантиметров.

Таким образом, для решения задач по геометрии необходимо знать теорему о периметре и формулы для расчетов различных параметров равностороннего треугольника.

Периметр треугольника формула и калькулятор онлайн

Формула вычисления периметра

Периметр (P) любого треугольника равняется сумме длин всех его сторон.

P = a + b + c

Периметр равнобедренного треугольника

Равнобедренным называют треугольник, у которого две боковые стороны равны (примем их за b). Сторона a, имеющая отличную от боковых длину, является основанием. Таким образом, периметр можно считать так:

P = a + 2b

Периметр равностороннего треугольника

Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все стороны равны (примем ее за a). Периметр такой фигуры вычисляется так:

P = 3a

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b — катеты фигуры, а c — гипотенуза.

• Гипотенуза. Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
• Катеты — это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется «Египетский треугольник». Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 — a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.

Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см. Решение. По рассмотренному выше примеру, видим, что $P=2cdot 12+11=35$ см Ответ: $35$ см.

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см. Решение. Рассмотрим рисунок по условию задачи: Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см. По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда $α^2=6^2+8^2$ $α^2=100$ $α=10$ По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим $P=2cdot 10+12=32$ см Ответ: $32$ см.

Примеры решения задач

Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.

Задача

Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.

Решение:

Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.

Задача

Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.

Решение:

Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: (P=6+4times2 = 14) см.

Задача

Нам известно, что площадь треугольника — 24 см 2 , а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.

Решение:

В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: (P=frac<2S>r) . С уже известными нам величинами получаем: (P=frac<2times24>8 = 6) см.

Задача

Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.

Решение:

Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как (P=2sqrt+2a) . С имеющимися значениями получается: (P=2sqrt<4^2-2^2>+2times2 = 4sqrt3+4) см.

Ответ: P=4sqrt3+4 см.

Задача

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.

Решение:

В формулу (P=sqrt+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt<5^2+7^2>+5+7 = sqrt<74>+12) см.

Как найти периметр треугольника

• Периметр треугольника
• Способы нахождения
  • По трем сторонам
  • По площади и радиусу вписанной окружности
  • По двум сторонам и углу между ними
  • По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
  • По двум катетам (для прямоугольного)
• Примеры решения задач
  • Задача №1
  • Задача №2
  • Задача №3
  • Задача №4
  • Задача №5

Учимся находить периметр треугольника разными способами, а также тренируем полученные знания на примерах задач.

Периметр треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены тремя отрезками, которые называются сторонами (ребрами) многоугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Рассмотрим несколько способов нахождения периметра рассматриваемой фигуры. Каждая из предложенных формул опирается на те величины, которые нам уже известны.

Способы нахождения

По трем сторонам

Если мы уже знаем длину каждого ребра фигуры, расчет периметра будет проходить так:

где a, b и с — это стороны треугольника.

В случае, если нам известны стороны равнобедренного треугольника (у которого два ребра равны), формула для расчета периметра выглядит следующим образом:

где a — основание фигуры, а b и с — равные ребра.

Треугольник может также быть равносторонним (когда все стороны равны). Тогда P будем находить в соответствии с расчетами:

где a — это любая сторона фигуры.

По площади и радиусу вписанной окружности

Когда нам известна площадь данного многоугольника и радиус вписанной в него окружности, расчет P выглядит так:

где S — площадь фигуры, r — радиус вписанной в нее окружности.

По двум сторонам и углу между ними

Так как нам известен угол и две стороны, которыми он образован, мы можем найти третью сторону треугольника по теореме косинусов. И потом уже вычислить сумму длин всех ребер фигуры.

Теорема косинусов выглядит так:

где α — известный угол.

Тогда формула для расчета периметра всей фигуры в этом случае:

По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)

Возвращаясь к свойствам равнобедренного треугольника, вспоминаем, что высота, проведенная к основанию треугольника из противоположной вершины, является одновременно высотой, биссектрисой и медианой. Это значит, что оба прямоугольных треугольника, которые она образует, равны между собой.

Формула для поиска периметра нашего равнобедренного будет опираться на теорему Пифагора. Пусть 1/2 основания (с) = d. Тогда:

где a — сторона равнобедренного треугольника и гипотенуза прямоугольного, h — высота равнобедренного и катет прямоугольного.

Не забываем, что d — это лишь половина основания равнобедренного треугольника, поэтому для поиска периметра результат нужно будет умножить на 2.

По двум катетам (для прямоугольного)

Еще раз вспомним теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (обозначим ее буквой с).

где a и b — катеты треугольника.

Подставляем значение c в формулу для нахождения периметра и получаем:

Примеры решения задач

Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.

Задача №1

Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.

Решение:

Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.

Задача №2

Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.

Решение:

Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: (P=6+4times2 = 14) см.

Задача №3

Нам известно, что площадь треугольника — 24 см 2 , а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.

Решение:

В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: (P=frac<2S>r) . С уже известными нам величинами получаем: (P=frac<2times24>8 = 6) см.

Задача №4

Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.

Решение:

Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как (P=2sqrt+2a) . С имеющимися значениями получается: (P=2sqrt<4^2-2^2>+2times2 = 4sqrt3+4) см.

Ответ: P=4sqrt3+4 см.

Задача №5

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.

Решение:

В формулу (P=sqrt+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt<5^2+7^2>+5+7 = sqrt<74>+12) см.

Задача периметр равностороннего треугольника

Периметр геометрической фигуры – суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр

имеет ту же размерность величин, что и длина.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника обозначаются малыми

буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, общая формула:

где a,b,c – длины сторон треугольника

Формула периметра треугольника для треугольника АВС:

Периметр равностороннего треугольника.

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника (или найти периметр правильного

треугольника), нужно знать его сторону.

В общем случае для нахождения периметра треугольника используют формулу:

Поскольку в равностороннем треугольнике все три стороны равны, формула упрощается:

Таким образом, периметр равностороннего треугольника находится по такой формуле:

где а — длина его стороны.

Периметр равнобедренного треугольника.

Чтобы найти периметр равнобедренного треугольника, нужно знать всего две его стороны — основание

и боковую сторону.

Поскольку у равнобедренного треугольника две стороны равны (боковые), найти периметр

равнобедренного треугольника можно по такой формуле:

То есть, периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин основания и

Ответ

Мы знаем, что у равностороннего треугольника все три стороны равны, соответственно:
Р равностороннего треугольника = а + а + а = 3а.

Р нашего треугольника = 3а = 18, отсюда получается:
а (сторона равностороннего треугольника) = 18 : 3 = 6 (см).

Мы знаем, что у равнобедренного треугольника равны две стороны.
И они по условию задачи = 6 см. А третья сторона – на 2 см короче.
6 – 2 = 4 (см)

Ответ: длина третьей стороны равнобедренного треугольника равна 4 см.

Формула нахождения периметра равностороннего треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника вытекает из определений. Что такое периметр? Периметр это сумма всех сторон фигуры. Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

Значит,для того, чтобы найти значение периметра достаточно умножить величину стороны на количество сторон:

Решим несколько разных по сложности задач, чтобы разобраться, какие проблемы могут встречаться на пути нахождения периметра.

Задача 1

• В равностороннем треугольнике сторона равна 6. Найти периметр треугольника.

Это самый простой вариант задачи. Достаточно подставить значение в формулу и получить результат. Такая задача не должна вызывать затруднений:

Задача 2

• В равнобедренном треугольнике острый угол при основании равен 60 градусам, площадь треугольника равна $$ >$$.

Особое внимание нужно обращать на вид фигуры, который указан в условии задачи.

В данной задаче дан равнобедренный треугольник. Чтобы воспользоваться общей формулой, необходимо доказать, что этот равнобедренный треугольник является еще и равносторонним.

Обратим внимание на величину угла. Угол при основании равен 60. При этом углы у основания равнобедренного треугольника равны, а сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Значит у основания два угла по 60 градусов. Рассчитаем угол при вершине:

180-60-60=60 – угол при вершине так же равен 60 градусам.

Значит, данный треугольник будет равносторонним, так как все углы равны 60 градусам.

Углы по 60 градусов характерны только для равностороннего треугольника. Именно сочетание 3 равных сторон образует 3 равных угла. В любых других ситуациях, хотя бы один угол будет отличаться.

Для площади равностороннего треугольника имеется отдельная формула:

$$S=a^2* over 4>= >$$ – где а значение стороны, которое нам и нужно выразить из этой формулы.

Подставим полученное значение в формулу:

Задача 3

• В равностороннем треугольнике высота равна $$3*sqrt $$. Найти периметр треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче 3

Для данной задачи нужно воспользоваться методом решения, который часто используется в задачах с равнобедренным треугольником. Из любой вершины опустим высоту, которая будет медианой и биссектрисой.

В одном из получившихся треугольников выразим значение высоты через сторону с помощью теоремы Пифагора:

Вычтем подобные слагаемые:

Из получившейся формулы выразим значение стороны:

Рис. 3. Периметр равностороннего треугольника

Подставим получившееся значение в формулу периметра равностороннего треугольника.

Что мы узнали?

Мы обсудили формулу для нахождения периметра равностороннего треугольника. Выделили проблемы, которые приходится решать при нахождении стороны равностороннего треугольника для дальнейшего решения задачи. Рассмотрели различные пути решения задач на нахождение периметра равностороннего треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 269.

Не понравилось? – Напиши в комментариях, чего не хватает.

Содержание

1. Формула нахождения периметра равностороннего треугольника
2. Задача 1
3. Задача 2
4. Задача 3
5. Что мы узнали?

Бонус

Тест по теме

• Диагональ прямоугольника Периметр равностороннего треугольника
• Периметр прямоугольного треугольника
• Равнобедренный прямоугольный треугольник

По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.

1. 1. Михаил Тяпин 214
2. 2. Наталия Дробот 198
3. 3. Мария Кауфман 192
4. 4. Игорь Проскуренко 157
5. 5. Соня Зверева 153
6. 6. Данил Лысогорский 145
7. 7. Василиса Варавкина 131
8. 8. Иоанн Стефановский 107
9. 9. Софья Холена 94
10. 10. Оля Проскурина 85

1. 1. Мария Николаевна 13,500
2. 2. Лариса Самодурова 12,695
3. 3. Liza 12,310
4. 4. Кристина Волосочева 11,445
5. 5. TorkMen 11,441
6. 6. Ekaterina 11,176
7. 7. Влад Лубенков 11,100
8. 8. Лиса 11,070
9. 9. Юлия Бронникова 11,060
10. 10. Вячеслав 10,840

Самые активные участники недели:

• 1. Виктория Нойманн – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 2. Bulat Sadykov – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 3. Дарья Волкова – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:

• 1. Наталья Старостина – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 2. Николай З – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 3. Давид Мельников – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.

Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

Тема простая, но очень важная!

Равносторонний треугольник — коротко о главном

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. (AB=BC=AC=a)

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны (<<60>^>).

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;

Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка (O);

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны (a):

• Высота=медиана=биссектриса: (h=frac><2>);
• Радиус описанной окружности: (R=frac><3>);
• Радиус вписанной окружности: (r=frac><6>);
• Площадь: (S=frac<<^<2>>sqrt<3>><4>);
• Периметр: (P=3a);

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны (<<60>^>)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме (<<180>^>), значит, каждый по (<<60>^>)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не (12) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. (R=2cdot r)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка( O) – центр треугольника.

Значит, (OB) – радиус описанной окружности (обозначили его (R)), а (OK) – радиус вписанной окружности (обозначим (r)).

Но ведь точка (O) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.

Поэтому (OB=2cdot OK), то есть (R=2cdot r).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника

Рассмотрим (Delta ABK) – он прямоугольный.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус 1. Статьи о других треугольниках

Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:

А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:

Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач

А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.

Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Формула радиуса описанной окружности (R):

,

.

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

.

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

.

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

.