Подобные треугольники – признаки, свойства и теоремы

Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что (Delta)ABС (sim) (Delta)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили (Delta)MBN, который подобен (Delta)ABC. Но (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если (Delta)MBN (sim) (Delta)AВС, то (Delta)А’В’С’ (sim) (Delta)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2 . Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ (frac = frac) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что (Delta)ABC (sim) (Delta)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB /_MB = BC /_BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: (frac = frac). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как (Delta)MBN (sim) (Delta)А’В’С’, то, следовательно, и (Delta)А’В’С’ (sim) (Delta)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ (frac = frac = frac) (рис. 369).

Требуется доказать, что (Delta)ABC (sim) (Delta)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, (frac = frac = frac).

Докажем, что (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

(frac = frac) и (frac = frac).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Сравним ещё две пропорции: (frac = frac) и (frac = frac) . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. MN =А’С’.

Оказалось, что три стороны (Delta)BMN равны трём сторонам (Delta)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’, а (Delta)ABC (sim) (Delta)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Подобные треугольники

Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

длины сторон треугольника KLM , расположенные в порядке возрастания.

длины сторон треугольника TRP , расположенные в порядке возрастания.

Переобозначим вершины треугольников KLM и TRP так, как показано на рисунке 2.

На рисунке 2 треугольник KLM обозначается как треугольник A₁B₁C₁ , а треугольник TRP обозначается как треугольник A₂B₂C₂ .

вершины A₁ и A₂ , B₁ и B₂ , C₁ и C₂ называют сходственными вершинами ,
стороны A₁B₁ и A₂B₂ , A₁C₁ и A₂C₂ , B₁C₁ и B₂C₂ называют сходственными сторонами ,
углы A₁ и A₂ , B₁ и B₂ , C₁ и C₂ называют сходственными углами

Определение 2 . Треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

а, во-вторых, существует положительное число k , такое, что справедливы равенства:

a₁ = k a₂ , b₁ = k b₂ , c₁ = k c₂ .

(1)

Признаки подобия треугольников

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Формулировка признака подобия:

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Следствие 1 . Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Следствие 2 . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Подобные треугольники – признаки, свойства и теоремы

Признака подобия треугольников

Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F

F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC

Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` – в `B_1`, `C` – в `C_1`.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC

Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,

`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.

1. Пусть `O` – точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MOparallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому

2. $$ ADparallel BC$$, `Delta AOD

Delta COB` по двум углам (рис. 10б):

`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.

3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение

`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.

Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MNparallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.

1. Пусть $$ BFVert CD$$ и $$ MEVert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME

Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.

2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` – параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x – a`; `AE = 5a – x`. Итак, имеем `(5a – x)/(x – a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.

Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

Попытайтесь доказать это самостоятельно.

Прямоугольные треугольники подобны, если:

1. они имеют по равному острому углу;

2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` – его высоты, то `Delta A_1B_1C

Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).

В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` – прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.

В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` – прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.

В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.

Таким образом, `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` – тупоугольный (рис. 12б), угол `C` – острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cos C =b cos C;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cos C =a cos C,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC,$$

коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` – тупоугольный (рис. 12в), угол `C` – тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.

`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ – /_ C`, `cos varphi = – cos C = |cos C|`.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cosvarphi =b |cos C|;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cosvarphi =b |cos C|,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC$$

с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).

Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

Аналогично `Delta AB_1C_1

Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

Так как `BB_1` – высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.

Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ – /_B`, т. е. луч `B_1B` – биссектриса угла `A_1B_1C_1`.

Аналогично доказывается, что `A A_1` – биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` – биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.

Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ – C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` – острый, `/_ C = 45^@`.

Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` – биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.

Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` – её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).

Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` – биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ ADVert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.

Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

Пусть `AD` – биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).

По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.

Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16

Подобие треугольников (ЕГЭ — 2022)

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое подобные треугольники? Вроде как «похожие», но как это понимать? И для чего это понимать?

Ну например для решения задание ЕГЭ №16, где подобие треугольников используется для доказательств. Кстати, полностью 16-ю задачу решают менее 1% выпускников!

Читай эту статью, смотри вебинар по 16 задаче и все поймешь!

Подобие треугольников — коротко о главном

Подобные треугольники – это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия ( displaystyle k).

( angle A = angle ,angle B = angle ,angle C = angle )

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: ( displaystyle frac<<

_>><<

_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=k).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: ( displaystyle frac<<_>><<_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=<^<2>>).

~~Признаки подобия треугольников:~~

~~По двум углам:~~

~~По одному углу и отношению заключающих его сторон:~~

~~По отношению трех сторон:~~

Подобные треугольники — подробнее

~~Мы разобрали подробно все, что касается треугольников в общем. Кроме того мы рассмотрели отдельные темы:~~

~~Но что такое подобные треугольники?~~

~~Вот, например, такой и такой:~~

~~Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!~~

~~А такой и такой?~~

~~А вот такой и такой?~~

~~Посмотри внимательно, тоже похожи.~~

~~А теперь строго математически!~~

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в ( displaystyle 5), или, в ( displaystyle 7), или в ( displaystyle 8,21) (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник ( displaystyle ABC) подобен треугольнику ( displaystyle <_<1>><_<1>><_<1>>)» с помощью такого значка:

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы ( displaystyle k).

~~(angle A = angle ,angle B = angle ,angle C = angle )~~

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон.

~~И они придумали признаки подобия треугольников .~~

Признак подобия треугольников «по двум углам»

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

~~Помнишь еще, что «( displaystyle sim< >)» обозначает слова «подобен»?~~

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак.

~~Но есть и еще два. Смотри.~~

Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Если треугольники имеют одинаковый угол, и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны , то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

Самый главный «секрет» подобия треугольников

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

~~Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда…~~

Все элементы одного треугольника ровно в ( displaystyle 2) (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

~~Не только стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д.~~

~~Есть одно важное исключение: площадь .~~

Читать далее…

~~Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:~~

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

~~Вы научитесь также применять подобие треугольников для расчетных задач (не только для доказательств).~~

Подобие треугольников: признаки и свойства

~~Подобие геометрических фигур~~
Признаки подобия треугольников
Лемма
Первый признак: подобие по двум углам
Второй признак: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
Третий признак: по трем пропорциональным сторонам
~~Примеры задач~~

Подобие геометрических фигур

Две фигуры называют подобными, если они переводятся друг в друга путем преобразования подобия (расстояния между точками фигур изменяются одно и то же число раз).

~~Обозначение подобия фигур: (sim) , например (triangle ABCsimtriangle KLM) (треугольник (ABC) подобен треугольнику (KLM) )~~

Признаки подобия треугольников

~~Для доказательства признаков подобия нам понадобится следующее утверждение:~~

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Лемма

Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от него треугольник, подобный исходному.

Первый признак: подобие по двум углам

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

~~Докажем данное утверждение.~~

~~Дано: (triangle ABC, triangle A_1B_1C_1, angle A=angle A_1, angle B=angle B_1)~~

~~Доказать: (triangle ABCsimtriangle A_1B_1C_1)~~

Отложим на (AB) отрезок (BA_2) , равный отрезку (A_1B_1) и проведем (A_2C_2parallel AC) . Рассмотрим (triangle A_1B_1C_1) и (triangle A_2BC_2: A_1B_1 = A_2B) по построению, (angle B=angle B_1) по условию и (angle A_1=angle A_2) как соответственные при параллельных прямых. Из леммы следует: (triangle A_2BC_2simtriangle ABC) , значит, ( triangle ABCsimtriangle A_1B_1C_1) .

Второй признак: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

Теорема. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак: по трем пропорциональным сторонам

Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Примеры задач

~~Задача 1~~

Через точки (М) и (N) на сторонах (АВ) и (ВС) треугольника (ABC) соответственно, проведена прямая (МN) , параллельная стороне (АС) , (ВС = 6) , (МN = 4) и (АС = 9) . Найдите длину (СN) .

~~Рассмотрим (triangle MBN) и (triangle ABC) :~~

~~(angle B) — общий~~
~~(angle BMN = angle BAC) как соответственные при (MNparallel AC) и секущей (AB) .~~

~~Следовательно (triangle MBNsimtriangle ABC)~~

~~Можем сделать вывод о пропорциональности соответствующих сторон: (frac=frac=frac😉~~

~~Пусть (NC = x) , тогда (BN = 6 – x) . Значит справедливо равенство:~~

~~Задача 2~~

Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5 соответственно. Периметр маленького треугольника равен 20 см. Найти периметр данного треугольника.

~~Имеем соотношение: (frac>>=frac45,) значит (frac>>=frac49) (т.к. всего треугольник условно делится на (4+5=9) частей)~~

~~Рассмотрим (triangle DBE) и (triangle ABC) :~~

~~(angle B) — общий~~
~~(angle BDE = angle BAC) как соответственные при (DEparallel AC) и секущей (AB)~~

~~Следовательно, (triangle DBEsimtriangle AB) C по двум углам.~~

Площади соотносятся как (k^2) ( (k) — коэффициент подобия), значит (k=frac23) , то есть (frac>>=frac23) , а так как (P_=20) , то выражаем (P_=30.)

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

~~Недавние изменения~~
~~Управление медиафайлами~~
~~Все страницы~~

Боковая панель

~~Геометрия:~~

~~Контакты~~

Признаки подобия треугольников

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ — треугольники, у которых $angle A = angle A_1 ; angle B = angle B_1$ , и, следовательно, $angle C = angle C_1$ . Докажем, что $triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1text< и >А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $angle В = angle В_1$ по условию и $angle А_1 = angle А_2$ , так как $angle А_1 = angle А$ по условию и $angle А = angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $triangle A_2BC_2 sim triangle ABC$ , и значит, $triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

~~По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.~~

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

~~Из теоремы 1 вытекает следующее.~~

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.

Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.

Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $angle A = angle A_1 ; angle B = angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия. Из подобия треугольников следует: $$ frac = frac = frac ,,, (1) $$ Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим: $$ frac<5> <10>= frac<7> = frac <8>,,, (2) $$ Из равенства (2) составим две пропорции $$ frac<5> <10>= frac<7> \ frac<5> <10>= frac <8>\ text< откуда >В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м). $$

Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Из условия задачи: $$ 1) angle B = angle B_1 ; \ 2) frac = frac = 2,5 \ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м. $$ Следовательно, $triangle ABC sim triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует $$ frac = 2,5text< , или >АС = 2,5bullet А_1С_1 $$ Так как АС = 2,5 • А₁С₁, то АС + А₁C₁ = 2,5 • А₁С₁ + A₁C₁ = 4,2, откуда A₁C₁ = 1,2 (м), АС = 3 (м).

Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А₁В₁С₁, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А₁В₁ = 4,5 см, B₁C₁ = 7,5 см, A₁C₁ = 10,5 см?

Решение. Имеем: $$ frac = frac<3> <4,5>= frac<1> <1,5>\ frac = frac<5> <7,5>= frac<1> <1,5>\ frac = frac<7> <10,5>= frac<1> <1,5>$$ Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.

Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1text< и >ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $angle 1 = angle2 text < и >angle 3 = angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: $$ frac = frac = frac $$

~~Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .~~

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1text< и >CC_1> делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

~~Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.~~

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника .

Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Подобные треугольники

Определение

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

~~Два треугольника являются подобными если:~~

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A₁ = ∠A₂, ∠B₁ = ∠B₂ и∠C₁ = ∠C₂

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

~~1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).~~

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 – угол1 – угол2)

~~2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);~~

~~3) длины двух сторон и угол между ними.~~

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 – ∠A – ∠B и ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

~~Решение:~~

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

~~$frac = frac<3> <6>= frac = frac = frac = frac<1> <2>Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$~~

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac<7> <11>= frac = frac<15> Rightarrow CA = frac<15 times 11> <7>= 23.57$
x = AC – DC = 23.57 – 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

~~Решение:~~

~~Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.~~

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac<3> <9>= frac = frac<8> Rightarrow AB = frac<8 times 9> <3>= 24 м$
x = AB – 8 = 24 – 8 = 16 м

~~Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.~~

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt <24^2 + 9^2>= 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC – AE = 25.63 – 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

~~Решение:~~

~~Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.~~

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

~~В условии задачи сказано, что:~~

~~AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км~~

~~Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:~~

~~Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:~~

~~A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км~~

~~F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км~~

~~F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км~~

~~F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км~~

~~Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.~~

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

~~Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.~~