Множество – виды, операции и примеры решения

Множество – виды, операции и примеры решения

Ключевые слова конспекта: множества, операции над множествами, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, элемент множества, числовые множества, обозначение некоторых числовых множеств.

В жизни часто приходится встречаться с различными совокупностями объектов, объединёнными в одно целое по некоторому признаку. Для обозначения этих совокупностей используются различные слова. Например, говорят: «стадо коров», «букет цветов», «команда футболистов» и т. д.

В математике в целях единообразия для обозначения совокупностей употребляется единый термин — множество. Например, говорят: множество чётных чисел, множество двузначных чисел, множество правильных дробей со знаменателем 5.

Термин «множество» употребляется и тогда, когда речь идёт о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек координатной плоскости, о множестве прямых, проходящих через данную точку.

Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества. Например, число 89 — элемент мнoжества двузначных чисел; точка В — элемент мнoжества вершин многоугольника ABCDE.

Множeства бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел — конечное множество (оно содержит 90 элементов), а множество чётных чисел — бесконечное множество.

Конечное мнoжество может содержать миллиард элементов, 2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одного элемента.

Пустое множeство — это мнoжество, не содержащее ни одного элемента. Для обозначения пустого мнoжества ввели специальный знак ∅.

Конечные множeства обычно записывают с помощью фигурных скобок. Например, множество вершин пятиугольника ABCDE можно записать так: , а множество двузначных чисел, кратных 15, так: . В таких случаях говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Множeства принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пятиугольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить соответственно буквами К и L и записать так: К = <А, В, С, D, Е>; L = <15, 30, 45, 60, 75, 90>.

Для основных числовых множеств введены специальные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N (от латинского слова natural — «естественный»), множество целых чисел — буквой Z (от немецкого слова zahl — «число»), множество рациональных чисел — буквой Q (от латинского слова quotient — «отношение»).

Число -8 является элементом мнoжества Z. Иначе говорят, что число -8 принадлежит множеству Z. Это предложение записывают короче: -8 ∈ Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N (не является элементом множества N). Для выражения этого факта принята следующая запись: 0,17 ∉ N.

В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного мнoжества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы этого множeства и не обладают никакие другие объекты.

Зададим с помощью описания некоторые мнoжества. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14>. Зададим это множество описанием, используя понятие характеристического свойства. Множeство А можно охарактеризовать как «множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно», или как «множество всех натуральных чисел, меньших 15», или, используя знаки ∈ ,

Это конспект по математике на тему «Множества. Операции над множествами». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту:
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

§ 1. Множества и операции над ними

§1. Множества и операции над ними

Объяснение и обоснование

1. Понятие множества. Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д.

В курсах алгебры и алгебры и начал математического анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = <1; 2; 3>. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М), записывается с помощью специального значка ∈ следующим образом: 2 ∈ М; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: 5 ∉ М.

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом ∅, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.

Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = <7>и M = <1; 2; 3>— конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = <–1; 0; 1>(множество задано перечислением элементов), B — множество всех четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством всех элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: B = или так: B = ∈ Z> — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое свойство*.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: A = , где P (x) — характеристическое свойство. Например, = < –1, 1>, ∈ R и x2 + 1 = 0> = ∅.

1. Равенство множеств. Пусть А — множество всех цифр трехзначного числа 312, то есть A = <3; 1; 2>, а B — множество всех натуральных чисел, меньших четырех, то есть B = <1; 2; 3>. Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: A = B. Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, <1; 2; 2>= <1; 2>, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

1. Подмножество

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.

Это записывают следующим образом: A ⊂ B.

Например, <1; 2>⊂ <0; 1; 2; 3>, N ⊂ Z (поскольку любое натуральное число — целое), Z ⊂ Q (поскольку любое целое число — рациональное), Q ⊂ R (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда ∅ ⊆ A, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.

Иногда вместо записи A ⊂ B используется также запись A ⊆ B.

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В (A ⊆ B); 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А (B ⊆ A). Таким образом,

два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера–Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами N, Z, Q, R.

Что такое множество 👨‍🎓. Свойства и операции над множествами

В этой статье рассмотрим очень важную тему, как в математике, так и в информатике – множества. Ниже Вы найдете основные определения и понятия, свойства множеств, их виды и примеры. Материал изложен таким образом, что разберется даже полный чайник. Здесь приведены, только основы, которые обычно проходятся в рамках школьной программы. Читайте!

1. Основные положения и обозначения
2. Подмножества
3. Мощность
4. Равенство
5. Виды
6. Примеры
7. Натуральные числа
8. Целые числа
9. Рациональные числа
10. Операции
11. Пересечение
12. Объединение
13. Разность
14. Заключение

Основные положения и обозначения

Теория множеств появилась благодаря знаменитому немецкому математику Гео́рг Ка́нтор (3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств.

‘>Георгу Кантору . Именно он с 1872 по 1884 год опубликовал работы, в которых были изложены основные положения и свойства, касающиеся данной темы.

Итак, начнем с основных понятий. Основное определение имеет следующий вид:

Множества (м-ва – сокр.) – наборы элементов объединенных по какому либо признаку.

Обозначаются они с помощью заглавных латинских букв, а их элементы указываются в фигурных скобках.

Примеры

​ ( S = left < а, б, в, г, д, …, ю, я right>) – мн-во букв русского алфавита.
( S = left < Алексей, Анатолий, Галина, …, Александр, Ирина right>) – мн-во имен студентов в группе.
( S = left < 🐵, 🙈, 🙉, 🙊 right>) – мн-во смайликов с изображением обезьянок.

Также стоит обговорить про принадлежность элементов к множеству. Записать её можно с помощью специального значка «принадлежности» – ​ ( in ) ​. Так запись вида ( x in S ) обозначает, что элемент x принадлежит множеству S.

С основным понятием разобрались, перейдем к остальной теории.

Подмножества

Подмножество – множество S1 является подмножеством S, если каждый элемент из S1 содержится (включен) в S.

Обозначают подмножества при помощи специального значка «включения», который имеет вид ​ ( subset ) ( ( S_1 subset S ) ) ​. Также их можно отобразить схематично, используя диаграммы Эйлера, которые отображают отношения между подмножествами.

Вернемся к нашему примеру с мн-ом имен студентов в группе, тогда S1 = – множество женских имен девушек, которые учатся в этой группе. В результате мы можем сказать, что S1 является подмножеством S .

Также Вы можете выделить подмножество мужских имен, или сделать любую выборку по какому-нибудь признаку.

Мощность

Следует также выделить такое понятие, как мощность. Имеет оно следующий вид:

Мощность – количество элементов, которое содержится в множестве.

Мн-ва называются равномощными тогда и только тогда, когда количество элементов одного из них равно количеству элементов другого.

Причем неважно, какие элементы будут в этих мн-ах. Так в одном из них могут содержаться 26 букв английского алфавита, а в другом 26 марок японских автомобилей, при этом они будут равномощными.

Мощность является одним из тех свойств, благодаря которому мы можем проводить сравнение двух (или более) м-в.​​

Равенство

Необходимо сказать и про равенство. Для чайников правило будет выглядеть так:

Два (или несколько) множеств равны только тогда, когда равны все их элементы.

Теперь изучим виды и другие свойства мн-в в математике.

Существует много критериев и свойств, по которым мы можем классифицировать множества. Например, мы можем разделить их по количеству элементов:

1. Пустые – такие м-ва не содержат ни одного элемента. Обозначаются значком ​( varnothing ).
2. Одноэлементные – как понятно из названия, состоят из одного элемента.
3. Универсальные – состоят из ВСЕХ объектов, которые есть в мире.

А можем поделить их на конечные (ограниченные) и бесконечные:

1. В конечных мн-ах имеется ограниченное число элементов (вспомните про пример с именами студентов).
2. Бесконечные. Например, м-во целых (Z) и рациональных (Q) чисел в математике.

Теперь рассмотрим примеры множеств в математике.

Примеры

Натуральные числа

Натуральные числа в математике – это те числа, которые мы используем при счете (1, 2, 3 и т.д.). Сюда не относятся отрицательные величины и нуль. Запись: ( N = left < 1, 2, 3, 4, 5, … right>).

Целые числа

Получаются из множества натуральных чисел. К ним добавляются отрицательные числа и нуль. ( Z = left < 0, pm 1, pm 2, pm 3, pm 4, pm 5, … right>).

Рациональные числа

Здесь множество задается следующим образом: ​ ( Q = left < | m in Z, n in Nright> ) ​. В формуле m представляет собой целый числитель, а n – натуральный знаменатель.

Так как любое число в математике можно представить в виде дроби (например, ​ ( 5 = <5 over 1>) ​), то целые числа являются подмножеством рациональных чисел. Натуральные же числа являются подмножеством целых чисел.

[ N subset Z subset Q ]

Эту теорию Вам надо запомнить.

Операции

В этом разделе рассмотрим основные операции (действия) над множествами в математике.

Пересечение

Операция пересечения эквивалентна логической конструкции И (логическое умножение) . В результате пересечения образуется множество состоящее из элементов, которые входят и в множество S1 ​​и одновременно с этим в S2. Для обозначения используется значок ( cap ) . Ниже приведен пример, отображенный с помощью кругов Эйлера – Венна (не путать с диаграммами Эйлера).

Чтобы поняли даже чайники, вернемся к нашим «мартышкам»:

( S_ <1>= left < , right>) — обезьянки показывающие лапки и глаза

( S_ <2>= left < , right>) — мартышки показывающие лапы и рот

Надо найти ( S_ <1> cap S_ <2>). Для этого воспользуемся диаграммами Эйлера — Венна:

Решение: ​ ( S_ <1> cap S_ <2>= left < right>) т.к. ​ входит и в S1 и в S2.​

Объединение

Операция объединения соответствует логическому ИЛИ (логическому сложению) . В результате объединения получается множество, состоящее из всех элементов множеств S1 и S2. Для обозначения используем знак ( cup ) .

​Решение: ​ ( S_ <1> cup S_ <2>= left < , , right>) ​

Разность

Вычитание множеств . Имеет следующее обозначение ( S_ <1>setminus S_ <2>) . В результате данной операции получим все элементы, которые принадлежат множеству S1 и в то же время НЕ принадлежат S2.

Решение: ​ ( S_ <1> setminus S_ <2>= left < right>)

Следует отметить, что здесь приведены не все операции. Например, не написано про симметрическую разность и законы Моргана. Их проходят в рамках высшей математики.

Заключение

Теперь Вы знаете, что такое мн-ва, знаете их свойства и какие операции над ними можно выполнять. Надеюсь я объяснил всю теорию так, что понял даже полный чайник. Если же у Вас возникли вопросы, то задавайте их в комментариях. Также на нашем сайте Вы можете прочитать другие статьи, например про представления чисел в компьютере. Рассказывается как выполнять с ними такие действия, как перемножение, получение суммы и деление.

Множество обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры решения множеств натуральных, целых и рациональных чисел, счетных и несчетных множеств

Мы каждый день сталкиваемся с большим количеством одинаковых предметов, но не задумываемся о том, как называется совокупность этих объектов. Это множество — математическая единица, подчиняющаяся определенным законам и правилам, обладающая разными свойствами и функциями.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.

А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = , а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);

бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);

пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

умножения S ∩ D = D ∩ S;

сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

Транзитивность — законы включения:

если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

Теория множеств: основы и базовые операции над множествами

Мы знаем довольно много о структурах данных, понимаем их устройство, разбираемся, какие структуры работают быстро и помогают решать конкретные задачи. Но эти знания бесполезны, если мы не понимаем, как это использовать в реальной жизни. Это похоже на изучение геометрии в школе. Вы долго считаете предмет бесполезным, пока однажды не появляется необходимость рассчитать площадь пола, чтобы заказать новое ковровое покрытие. Впрочем, пользу геометрии можно почувствовать, даже если вы никогда не считали площадь пола в комнате самостоятельно.

Сегодня поговорим о структуре данных, которая в теории очень догматична, а на практике очень популярна. На самом деле вы так или иначе уже сталкивались с этой структурой, а также слышали о ней на уроках математики в школе. Вы уже догадались, что речь идёт о множествах.

Теория множеств без страха

Прежде чем разбирать устройство множеств, давайте поймём, откуда они появляются. То есть давайте сразу погрузимся в теорию — да-да, в теорию множеств! Не бойтесь сложностей — высока вероятность того, что вы уже так или иначе использовали эту теорию. Возможно, вы сталкивались с теорией множеств, когда проходили в школе диаграмму Венна. Диаграмму Венна включили в программу изучения множеств, так как она хорошо иллюстрирует отношения подмножеств.

Мы выяснили, что теория множеств не должна никого пугать. Теперь пришло время разобраться, что это за теория на самом деле. Множество — математическая концепция. Теорией множеств описывают отношения множеств.

Множество — ни что иное, как неупорядоченная коллекция, в которой нет дублирующихся элементов.

В этом определении есть три важных слова: «неупорядоченная», «дублирующихся» и «элементов». Эти слова точно передают суть и устройство множества. Если мы это запомним, то будем знать основную информацию о том, как работает эта структура данных.

Нужно понять, почему это важно. Для начала давайте посмотрим на множества в действии. Как сказано выше, отношения множеств удачно иллюстрирует диаграмма Венна. Давайте взглянем на два множества: книги, которые есть у человека дома, и книги, которые этот человек прочитал.

Если вы знакомы с диаграммой Венна, то понимаете, что в центре в зелёном круге находятся книги, которыми человек владеет, и которые он прочитал. Здесь множества пересекаются. Также вы понимаете, что два множества — прочитанные человеком книги и книги, которые есть у человека — существуют внутри другого множества. Это все существующие в мире книги.

Диаграмма Венна — хорошая база для понимания теории множеств, так как с её помощью легче понять более сложные вещи. Допустим, вы хотите представить два множества книг в какой-то структуре данных. Вы уже знаете, что книги надо разделить на два множества: которые человек прочитал и которые есть у него дома. Для удобства назовём первое множество Set X, а второе Set Y. Эти множества после реконфигурации в структуры данных можно представить с помощью диаграммы Венна.

Можно заметить, что множества Set X и Set Y стали похожи на объекты или хэши: элементы внутри них не имеют индексов или других элементов, позволяющих их упорядочить. В них также нет повторяющихся элементов, что делает эти структуры данных множествами. Как вы уже знаете, множество — это коллекция неупорядоченных элементов, которые не повторяются.

Начните изучать разработку с бесплатного курса «Основы современной вёрстки». Вы научитесь создавать статические веб-страницы, стилизовать элементы, использовать редакторы кода с полезными расширениями. В конце курса вы опубликуете свой первый сайт на GitHub Pages.

Об операциях с множествами без боли

Какие возможности открывает представление множеств в формате структур данных? С ними теперь можно выполнять разные операции. Две самые важные операции, которые выполняются над множествами — это пересечение и объединение.

Пересечение множеств часто записывается с помощью такой нотации: X ∩ Y. Пересечение определяет, где два множества пересекаются. Другими словами, эта операция возвращает все элементы, которые входят в два множества. В нашем примере пересечение Set X и Set Y возвращает все книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Хороший ключ к пониманию пересечения — ключевое слово «и». Мы получаем книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Несмотря на то, что полученные с помощью пересечения книги существуют в двух множествах, мы не повторяем их, так как в множестве могут быть только уникальные элементы.

Объединение двух множеств обозначается так: X ∪ Y. Объединение возвращает общность двух множеств или объединённое множество. Иными словами, с помощью объединения множеств можно получить новое множество элементов, которые существуют хотя бы в одном исходном множестве. В нашем случае объединение вернёт все книги, которые человек читал, а также все книги, которые есть у него дома. Обратите внимание, если книга входит одновременно в Set X и Set Y, она не может дублироваться в новом множестве после объединения, так как в множества входят только уникальные элементы.

С помощью диаграммы Венна пересечение и объединение можно представить так:

Теперь давайте рассмотрим более сложные вещи. Объединение и пересечение — важные операции над множествами, но это только азы теории. Нам надо познакомиться с другими операциями, чтобы решать более серьёзные задачи. Важно понимать разность множеств и относительные дополнения множеств. Ниже мы разберём, почему это важные операции, но сначала нужно понять, как они работают.

Как понятно из названия, разность множеств определяет разницу между множествами. Иными словами, мы определяем, какие элементы останутся в множестве X, если удалить из него все элементы, которые содержатся в множестве Y. Это действие можно обозначить так: X — Y. В примере на иллюстрации ниже разница между множеством X и множеством Y — это элементы, которые существуют в Set X, но не существуют в Set Y. Они обозначены буквами C, Z и W.

Относительное дополнение — противоположность разности множеств. Например, относительное дополнение Y по сравнению с X возвращает все элементы множества Y, которые не входят в множество X. Относительное дополнение можно обозначить так: X Y. Относительное дополнение X Y фактически возвращает такой же набор элементов, как разность Y — X. В нашем примере множество Y меньше множества X. Единственный элемент, который входит в Set Y, но не входит в Set X — число 2.

По сути, мы просто вычитаем множество X из множества Y и отвечаем на вопрос: что существует в Y, чего нет в X?

Вы могли заметить, что в части примеров мы имеем дело со строками, в другой части в качестве элементов выступают буквы и числа. Здесь надо подчеркнуть важный момент: множество может включать любой тип элементов или объектов. Вы можете рассматривать множества как хэши: они включают любые сущности, если те встречаются во множестве только один раз.

Теперь давайте рассмотрим ещё одну операцию, она самая сложная из всех. Но не пугайтесь, с ней тоже можно разобраться.

В некоторых случаях требуется найти противоположность пересечению множеств. Иными словами, речь идёт о книгах, которые есть у человека, и книгах, которые он прочитал, но которые не входят одновременно в оба множества. Как назвать это подмножество? И как найти его?

Правильное название для этого кейса — симметрическая разность множеств. Также употребляют термины «дизъюнктивное объединение» и «несвязное объединение». Симметрическая разность возвращает все элементы, которые входят в одно из множеств, но не входят в пересечение этих множеств. Пример на иллюстрации поможет разобраться с дизъюнктивным объединением.

В примере выше симметрическая разность похожа на поиск относительного дополнения множества X и множества Y. Если подходить к этому с позиции математики, поиск симметричной разницы — то же самое, что и объединение относительных дополнений множества X и множества Y. Эту операцию можно записать так: X △ Y= (X ∖ Y) ∪ (Y ∖ X).

Но не дайте сбить себя с толку!

Всё, что нужно для поиска симметрической разности — найти элементы, которые есть в множестве X, но отсутствуют в множестве Y, и какие элементы есть в множестве Y, но отсутствуют в множестве X. Иными словами, надо найти уникальные элементы в каждом множестве.

В примере выше числа 1, 2 и 3 входят в множества X и Y одновременно. А буквы A, B, C, X, Y, Z входят только в множества X или Y. Поэтому они представляют симметрическую разность множеств X и Y.

Мы рассмотрели теоретические вопросы. Теперь можно посмотреть, как теория множеств работает на практике.

Множества вокруг нас

К этому моменту вы наверняка задумались, зачем надо изучать теорию множеств. Это хороший вопрос, и пришло время ответить на него.

Уже догадались? Множества повсюду. Это структуры данных, которые мы можем использовать при работе с разными языками программирования, например, Python, Java, Ruby, JavaScript и так далее. Если вы знакомы с этими или другими языками программирования, то уже вспомнили методы, которые позволяют работать с множествами.

Вот пример на JavaScript.

Очевидно, что имена методов могут меняться в зависимости от языка. Например, метод has из примера выше в Ruby называется include?, но эти методы работают практически одинаково. А в Python при работе с множествами можно использовать методы intersection, union и symmetric_difference.

Но в чём именно польза множеств? Понятно, что с ними можно работать в разных языках программирования, но зачем это нужно на практике?

Один из моментов — множества могут сэкономить вам много времени. Помните все эти сложные операции — intersection, union, difference? Уже догадались? Продолжительность выполнения этих операций зависит от размера множеств. Это связано с тем, что для выполнения операций нам надо обойти все элементы множества. Обычно даже гигантские множества можно обойти достаточно быстро.

Но как насчёт основных операций? Как насчёт добавления элементов в одно из множеств, удаления элементов, поиска конкретного элемента в множестве? Все эти операции выполняются за константное время или 0(1). Это очень мощный инструмент, и это значит, что множества могут быть даже более удобной структурой данных, чем словарь или хэш.

Но подождите, почему все операции с множествами выполняются так быстро? Как это возможно? Как оказалось, под капотом множества представляют собой хэши. Теперь вся информация собирается воедино. С хэш-таблицами знакомо большинство программистов, но почему с их помощью так удобно реализовывать множества?

Это возможно благодаря нескольким факторам. Первый: в хэш-таблицах каждый элемент всегда имеет уникальный индекс. Это очень хорошо с точки зрения реализации множеств, так как множества могут включать только уникальные элементы. Второй фактор: в хэш-таблицах порядок элементов не имеет значения. В множествах порядок элементов тоже не имеет значения. Наконец, хэш-таблицы обеспечивют константное время доступа 0(1). Это идеально для выполнения базовых операций с множествами.

Заключение

Теория множеств используется в разных областях computer science. Это важная для программистов концепция, понимание которой помогает разработчикам эффективно работать с данными.

Адаптированный перевод статьи Set Theory: the Method To Database Madness by Vaidehi Joshi.

Никогда не останавливайтесь: В программировании говорят, что нужно постоянно учиться даже для того, чтобы просто находиться на месте. Развивайтесь с нами — на Хекслете есть сотни курсов по разработке на разных языках и технологиях.

С нуля до разработчика. Возвращаем деньги, если не удалось найти работу.

Множества: понятие, определение, примеры

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество , но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, — это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество (M) состоит из предметов (a,,b,,c,,ldots) и только из этих предметов, то пишут

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества (M) , записывается в виде

Элементы множества (M) могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество (M) не было одним из своих собственных элементов: (Mnotin M) .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством . Например, множество всех действительных корней уравнения

Если для двух множеств (M) и (N) каждый элемент (x) множества (M) является также элементом множества (N) , то говорят, что (M) входит в () , что (M) есть часть (N) , что (M) есть подмножество (M) или что (M) содержится в (N) ; это записывается в виде

Например, множество (M=<1,2>) есть часть множества (N=<1,2,3>) .

Ясно, что всегда (Msubseteq M) . Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения (x^2-3x+2=0) и множество (M=<1,2>) между собою равны.

Определим правила действий над множествами .

Объединение или сумма множеств

Пусть имеются множества (M,N,P,ldots) . Объединением или суммой этих множеств называется множество (X) , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из “слагаемых”

При этом, даже если элемент (x) принадлежит нескольким слагаемым, то он входит в сумму (M) лишь один раз. Ясно, что

Пересечение множеств

Пересечением или общей частью множеств (M,N,P,ldots) . называется множество (Y) , состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам (M,N,P,ldots) .

Ясно, что (Mcdot M=M) , и если (Msubseteq N) , то (Mcdot N=M) .

Если пересечение множеств (M) и (N) пусто: (Mcdot N=varnothing) , то говорят, что эти множества не пересекаются .

Для обозначения операции суммы и пересечения множеств употребляют также знаки (textstyle) и (textstyle) . Таким образом,

Читателю рекомендуется доказать, что сумма и пересечение множеств связаны обычным распределительным законом

Разность множеств

Разностью двух множеств (M) и (N) называется множество (Z) всех тех элементов из (Z) , которые не принадлежат (N) :

Если (Nsubseteq M) , то разность (Z=Msetminus N=M-N) называют также дополнением к множеству (N) относительно (M) .

Нетрудно показать, что всегда

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.

Конечные и бесконечные множества

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества (M) и (N) и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.

Если множество (M) конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств (M) и (N) достаточно сосчитать число элементов в (M) , число элементов в (N) и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств (M) и (N) конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов, чем конечное.

Однако, если оба множества (M) и (N) бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает. Поэтому сразу возникают такие вопросы: все ли бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов, или же существуют бесконечные множества с большим и меньшим количеством элементов? Если верно второе, то каким способом можно сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах? Этими вопросами мы теперь и займемся.

Взаимно однозначное соответствие множеств

Пусть снова (M) и (N) — два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из (M) и один элемент из (N) . Тогда, если какому-нибудь элементу из (M) не найдется парного к нему элемента из (N) , то в (M) больше элементов, чем в (N) . Поясним это рассуждение примером.

Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел

Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.

Ни один элемент (M) и ни один элемент (N) не остается без пары. Правда, мы могли бы также образовать пары и так:

Тогда многие элементы из (M) остаются без пар. С другой стороны, мы могли бы составить пары и так:

Таким образом, если множества (A) и (B) бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента (A) и каждого элемента (B) имеется парный к нему элемент, то говорят, что между множествами (A) и (B) можно установить взаимно однозначное соответствие . Например, между рассмотренными выше множествами (M) и (N) можно установить взаимно однозначное соответствие, как
это видно из табл. 1.

Если между множествами (A) и (B) можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны . Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из (A) всегда остаются без пар, то говорят, что множество (A) содержит больше элементов, чем (B) , или что множество (A) имеет большую мощность, чем (B) .

Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос: существуют ли вообще бесконечные множества. имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.

Счетные множества. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества (A) и элементами множества всех натуральных чисел

Таблица 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть (G) есть множество всех четных чисел, (H) — множество всех нечетных чисел и (Z) — множество всех натуральных чисел. Как показывает таблица 4, множества (G) и (H) счетны. Однако множество (Z=G+H) вновь счетно.

Нарушение правила “целое больше части” для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно . Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь
все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности:

Номер места, занимаемого
рациональным числом 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .
Рациональное число 1. 2, О, 3, — 1, 4 —2 _

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.

Множества мощности континуума

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества (M) и точками отрезка (0leqslant xleqslant1) , то говорят, что множество (M) имеет мощность континуума . В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка (0leqslant xleqslant1) имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка (AB) имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.

Нетрудно показать, что множества точек любого интервала (xin[a,b]) и всей числовой прямой (xin[-infty,+infty]) — имеют мощность континуума.

Значительно более интересен такой факт: множество точек квадрата (0leqslant xleqslant1,) (0leqslant yleqslant1) имеет мощность континуума. Таким образом, грубо говоря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.

Операции над множествами

Содержание:

Множества можно определять и при помощи операций над другими множествами.

Равенство множеств. Множества А и В считаются разными (совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: Если множества не равны, то пишут:

Доказательство равенства множеств состоит из двух частей:

1) для любого элемента множества А (формальная запись — ) доказывается, что он принадлежит и множеству В. Формально это записывается так:

2) для любого элемента В доказывается, что он принадлежит и множеству К. формально это можно записать так:

Отсюда следует, что запись равенства двух множеств «А = В» эквивалентна записи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Доказать, что множество равно множеству В корней уравнения то есть Для доказательства этого утверждения решим уравнение. Получим: Следовательно,

Затем непосредственной подстановкой убеждаемся, что любое из чисел 0, 2, 3 удовлетворяет уравнению, следовательно:

Только теперь можно записать, что

Объединение (сумма) множеств. Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бь/в одном из множеств А или В. Обозначается:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Если , то

Можно рассматривать объединение п множеств:

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств

Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R множества отрицательных чисел R’ и множества , содержащего один элемент — ноль, то есть

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума часто используются круги Эйлера или диаграммы Венна.

Универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. Операция объединения и другие операции иллюстрируются кругами Эйлера представленными на рис. 1.1—1.5.

Пересечение (умножение) множеств. Пересечением множеств А и В называется множество D, составленное из общих для множеств А и В элементов. Обозначение: Для множеств из примера 5 имеем:

Можно рассматривать пересечение множеств:

при этом в А входят только, те элементы, которые входят во все множества

Пересечение двух множеств иллюстрируется на рис 1.2.

Пусть есть некоторое множество А. Говорят, что задано разбиение множества А на классы если

Классы — это такие подмножества разбиваемого множества, которые не имеют общих элементов, а их объединение образует исходное множество А. Следовательно, каждый элемент множества А входит в один и только в один класс. Например, разбиение всех студентов одного факультета университета на учебные группы, разбиение книги на страницы, а страницы на абзацы, разбиение уголовного кодекса на статьи и т. п.

Разность двух множеств

Разностью двух множеств называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначение: . Отметим, что в А могут находиться не все элементы из вычитаемого множества В (см. рис.1.3). Например,

Если В — подмножество то разность . называется дополнением к В до А. Например, если и то множество — дополнение к В до А. Операция дополнения иллюстрируется на рис. 1.4.

Дополнение к А до универсума U имеет особое обозначение: (см. рис. 1.5).

Пример 3.

Пусть Такое множество называется множеством неотрицательных чисел. Тогда это множество отрицательных чисел.

Перечисляемые ниже свойства операций над множествами справедливы для любых множеств, поэтому их часто называют законами, часть которых имеет специальные наименования.

1. Коммутативный, или переместительный, закон имеет место, как для операции объединения, так и для операции пересечения:

2. Ассоциативный, или сочетательный, закон также имеет место и для операции объединения и для операции пересечения:

Так как порядок выполнения операций несущественен, то скобки в записи опускают. 3. Дистрибутивный, или распределительный, закон:

4. Закон идемпотентности:

5. Закон поглощения:

6. Закон двойственности де Моргана: 7. 8. 9.

10. Если и одновременно 11. 12.

Анализируя свойства 1—13, можно сформулировать принцип двойственности: всякое равенство, тождественно выполняемое в теории множеств, переходит также в тождественно выполняющееся равенство при замене знака объединения на знак пересечения множество универсум на пустое множество и наоборот.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.