Уравнение биссектрисы в треугольнике – формула, свойства и решение задач

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника
Свойства биссектрисы треугольника
- Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
Пример задачи

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

BD – биссектриса угла ABC;
α = β.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
α = β.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Уравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задач

Треугольник является одной из самых простых фигур, которая часто встречается школьникам в задачах по геометрии. В свою очередь, биссектриса представляет собой важный элемент, характеризующий тот или иной угол. Решение геометрических проблем с участием этих объектов требует наличия определенных знаний. Чтобы уметь составлять по координатам вершин уравнение биссектрисы треугольника, необходимо понимать выражения для прямых линий.

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.

В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.

Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.

Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.

Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

Делящая пополам угол линия

Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.

Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.

Способы построения

В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:

С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.

С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.

Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.

В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

Основные свойства

Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.

Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.

Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.

В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:

Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.

Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:

Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.

Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

Уравнение биссектрисы треугольника

Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.

В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):

Сначала требуется определить уравнения двух сторон угла по их координатам. Это легко сделать в векторной форме, а затем, преобразовать ее в выражение общего типа.

Далее, необходимо найти уравнение биссектрис первого координатного угла, прировняв расстояния от ее точек до соответствующей стороны. Рабочая формула имеет вид: |A1*x + B1*y + C|/(A1 2 + B1 2 )^0,5 = |A2*x + B2*y + C|/(A2 2 + B2 2 )^0,5. Следует обратить внимание на наличие двух различных решений этого равенства, поскольку в числителе стоит модульное выражение. Два полученных уравнения говорят о наличии взаимно перпендикулярных биссектрис для углов треугольника внутреннего и внешнего.

Для внутреннего угла искомое уравнение можно найти, если определить точку пересечения соответствующей прямой с противоположной исходному углу стороной треугольника. Та точка, сумма расстояний от которой до концов отрезка будет равна длине стороны, принадлежит искомой биссектрисе.

Пример решения задачи

Пусть, треугольник задан координатами A (1, -1), B (0, -2), C (3,0). Следует уравнение биссектрисы найти для угла B и ее длину вычислить.

Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:

AB: (x, y) = (1, -1) + α*(-1, -1) ==> y — x + 2 = 0;
CB: (x, y) = (3, 0) + α*(-3, -2) ==> 3*y — 2*x + 6 = 0.

Составить уравнения биссектрис можно так:

| y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.

Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:

y*(6−3*3 0,5 ) + x*(3*3 0,5 −4)+12−6*3 0,5 = 0;
y*(3*3 0,5 +6) -x*(4+3*3 0,5 )+12+6*3 0,5 = 0.

Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид:

Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:

D1 = (-0,2515;-1,6258);
D2 = (1,556;-0,722).

При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:

D1A = 1,4; D1C = 3,635;
D2A = 0,621; D2C = 1,614.

Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2:

BD2 = 2,014 единицы.

Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Тогда справедлива формула:

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказать, что выполнено равенство:

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Поскольку CE – высота, то

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

Нахождение высоты, биссектрисы и медианы треугольника

(blacktriangleright) Высота треугольника может упасть как на сторону, так и на ее продолжение. Второй случай возможен только если треугольник тупоугольный и высота проведена из вершины острого угла.

(blacktriangleright) Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Все высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

(blacktriangleright) В равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию, совпадают (отрезок (BO,) ).
Обратно: если в треугольнике совпадают биссектриса и медиана (биссектриса и высота, высота и медиана), проведенные к одной стороне, то этот треугольник равнобедренный.

(blacktriangleright) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Обратно: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

(blacktriangleright) Медианы треугольника своей точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.

(blacktriangleright) Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Обратно: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

(blacktriangleright) Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Обратно: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

В треугольнике (ABC) : (AB = BC) , (BM) – биссектриса, (AC = 5) . Найдите (AM) .

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда (BM) – медиана и (AM = MC) . Таким образом, (5 = AC = AM + MC = 2cdot AM) , откуда находим (AM = 2,5) .

В треугольнике (ABC) : (BM) – высота, причем (AM = MC) , (angle ABM = 28^) . Найдите (angle ABC) . Ответ дайте в градусах.

в треугольниках (ABM) и (BMC) :

(angle AMB = angle BMC) ,

тогда треугольники (ABM) и (BMC) равны по двум сторонам и углу между ними и, значит, (AB = BC) , то есть треугольник (ABC) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой, значит (angle MBC = angle ABM = 28^) , тогда (angle ABC = 2cdot angle ABM = 56^) .

В треугольнике (ABC) : (angle C = 90^) , (CE) – медиана, (angle ACE = 50^) . Найдите (angle B) . Ответ дайте в градусах.

(angle ECB = angle ACB – angle ACE = 40^) . В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда (CE = BE) , значит треугольник (CEB) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle B = angle ECB = 40^) .

В треугольнике (ABC) : (angle B = 90^) , (BE) – медиана, (angle CBE = 25^) . Найдите (angle AEB) . Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда (CE = BE) , значит треугольник (CEB) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle C = angle CBE = 25^) .

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним, то (angle AEB = angle C + angle CBE = 50^) .

В треугольнике (ABC) : (angle B = 90^) , (BE) – медиана, (angle CBE = 22^) . Найдите (angle BAC) . Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда (AE = BE) , значит треугольник (AEB) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle ABE) .

Так как (angle B = 90^) , (angle CBE = 22^) , то (angle ABE = 90^ – 22^ = 68^) , откуда (angle BAC = 68^) .

В треугольнике (ABC) : (AD) и (BE) – высоты, пересекающиеся в точке (F) , (angle EFD = 104^) . Найдите (angle C) . Ответ дайте в градусах.

(angle AFE = 180^ – angle EFD = 76^) , тогда (angle FAE = 90^ – angle AFE = 14^) (так как (angle FEA = 90^) ). Треугольник (ADC) – прямоугольный. (angle C = 90^ – angle FAE = 76^) .

В треугольнике (ABC) : (CE) и (BF) – высоты, пересекающиеся в точке (T) , (angle CTB = 152^) . Найдите (angle A) . Ответ дайте в градусах.

(angle FTC = 180^ – angle CTB = 28^) , тогда (angle TCF = 90^ – angle FTC = 62^) (так как (angle TFC = 90^) ). Треугольник (AEC) – прямоугольный. (angle A = 90^ – angle TCF = 28^) .

Если выпускник планирует сдавать ЕГЭ по математике базового уровня и при этом стремится получить конкурентные баллы, ему непременно следует научиться решать задачи, в которых требуется найти высоту треугольника. Подобные планиметрические задания из года в год встречаются в аттестационном испытании. Это означает, что справляться с задачами ЕГЭ, в которых искомой величиной является высота треугольника, должны школьники с любым уровнем подготовки.

Полезная информация

Задачи ЕГЭ, требующие найти угол между высотой и медианой или другую величину треугольника, зачастую можно решить, вспомнив основные понятия из базового школьного курса. При этом рекомендуется следовать определенному алгоритму. Вначале сделайте чертеж. Затем нанесите на него все известные данные согласно условию. После этого стоит определить все геометрические понятия (биссектриса, медиана треугольника и т. д.), которые известны и которые необходимо найти в задании ЕГЭ. Выполнив это, вспомните относящиеся к ним теоремы и отразите на чертеже все соотношения между элементами, которые из них следуют логически. Приведем пример. Если в задаче ЕГЭ встречается понятие «биссектриса угла треугольника», стоит вспомнить его определение и основные свойства, после чего найти и отразить на сделанном чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

Как подготовиться к экзамену?

Задания в ЕГЭ на нахождение угла между биссектрисами треугольника, а также на вычисление отношения подобных треугольников вызывают у вас затруднения? Образовательный портал «Школково» поможет вам в решении этой проблемы. С нами вы сможете повторить материал по темам, которые являются для вас сложными. Наши специалисты собрали и изложили всю теоретическую информацию в максимально доступной и понятной форме.

Для каждого задания на портале вы найдете правильный ответ и описание алгоритма решения. Практиковаться можно как с простыми упражнениями, так и с более сложными. Тренироваться в решении задач на нахождение угла между биссектрисой и медианой треугольника, которые встречаются в ЕГЭ, выпускники могут в режиме онлайн, находясь в любом регионе России. Справившись в заданием, учащиеся имеют возможность сохранить его в разделе «Избранное», а затем при необходимости обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем биссектрисы AA₁, BB₁ и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC₁ (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

где p − полупериметр треугольника ABC, ( small gamma -) угол между биссектрисой ( small l_c) и вершиной ( small h_c:)

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если l_c является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

(2)

Поскольку то (2) можно переписать так:

(3)

Найдем x из (3):

(4)

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

(6)

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

(7)

(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

Учитывая, что , получим:

(11)

Для ( small sin C ) применим формулу синуса двойного угла:

(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

Остается показать, что .

Поскольку биссектриса l_c делит угол C пополам, то:

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

· длины прилежащих сторон и угол между ними

· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону

· длины трех сторон треугольника.

Докажем первую из формул.

Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.

Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

Обозначим биссектрису AD через la .

Требуется найти la.

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

Ответ: .

Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.

Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD – биссектриса, AD=12.

Вычислим , получаем:

, .

(по основному тригонометрическому тождеству).

Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD

проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.

Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

, то есть .

Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

Ответ :.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.

Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин ℹ️ формула нахождения длины отрезка, способы и правила построения, свойства, решение задач

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:
На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.

Прямая на плоскости
Р“Р»Р°РІР° 2. Р”РµРєР°СЂС‚РѕРІС‹ РїСЂСЏРјРѕСѓРіРѕР»СЊРЅС‹Рµ РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ РЅР° РїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё
Продолжение следует…
Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность
Делящая пополам угол линия
Способы построения
Основные свойства
(✿◠‿◠)
Уравнение биссектрисы треугольника

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

Р“Р»Р°РІР° 2. Р”РµРєР°СЂС‚РѕРІС‹ РїСЂСЏРјРѕСѓРіРѕР»СЊРЅС‹Рµ РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ РЅР° РїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё

РµРєР°СЂС‚РѕРІР° РїСЂСЏРјРѕСѓРіРѕР»СЊРЅР°СЏ СЃРёСЃС‚РµРјР° РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚ РѕРїСЂРµРґРµР»СЏРµС‚СЃСЏ Р·Р°РґР°РЅРёРµРј Р»РёРЅРµР№РЅРѕР№ РµРґРёРЅРёС†С‹ РґР»СЏ РёР·РјРµСЂРµРЅРёСЏ РґР»РёРЅ Рё РґРІСѓС… РІР·Р°РёРјРЅРѕ РїРµСЂРїРµРЅРґРёРєСѓР»СЏСЂРЅС‹С… РѕСЃРµР№, Р·Р°РЅСѓРјРµСЂРѕРІР°РЅРЅС‹С… РІ РєР°РєРѕРј-РЅРёР±СѓРґСЊ РїРѕСЂСЏРґРєРµ.

РўРѕС‡РєР° РїРµСЂРµСЃРµС‡РµРЅРёСЏ РѕСЃРµР№ РЅР°Р·С‹РІР°РµС‚СЃСЏ РЅР°С‡Р°Р»РѕРј РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚, Р° СЃР°РјРё РѕСЃРё – РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚РЅС‹РјРё РѕСЃСЏРјРё. РџРµСЂРІР°СЏ РёР· РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚РЅС‹С… РѕСЃРµР№ РЅР°Р·С‹РІР°РµС‚СЃСЏ РѕСЃСЊСЋ Р°Р±СЃС†РёСЃСЃ, РІС‚РѕСЂР°СЏ – РѕСЃСЊСЋ РѕСЂРґРёРЅР°С‚.

РќР°С‡Р°Р»Рѕ РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚ РѕР±РѕР·РЅР°С‡Р°РµС‚СЃСЏ Р±СѓРєРІРѕР№ Рћ, РѕСЃСЊ Р°Р±СЃС†РёСЃСЃ – СЃРёРјРІРѕР»РѕРј РћС…, РѕСЃСЊ РѕСЂРґРёРЅР°С‚ – СЃРёРјРІРѕР»РѕРј РћСѓ .

РљРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚Р°РјРё РїСЂРѕРёР·РІРѕР»СЊРЅРѕР№ С‚РѕС‡РєРё Рњ РІ Р·Р°РґР°РЅРЅРѕР№ СЃРёСЃС‚РµРјРµ РЅР°Р·С‹РІР°СЋС‚ С‡РёСЃР»Р°

( СЃРј. СЂРёСЃ. 1), РіРґРµ Рё СЃСѓС‚СЊ РїСЂРѕРµРєС†РёРё С‚РѕС‡РєРё Рњ РЅР° РѕСЃРё РћС… Рё РћСѓ, РѕР±РѕР·РЅР°С‡Р°РµС‚ РІРµР»РёС‡РёРЅСѓ РѕС‚СЂРµР·РєР° РѕСЃРё Р°Р±СЃС†РёСЃСЃ, – РІРµР»РёС‡РёРЅСѓ РѕС‚СЂРµР·РєР° РѕСЃРё РѕСЂРґРёРЅР°С‚. Р§РёСЃР»Рѕ С… РЅР°Р·С‹РІР°РµС‚СЃСЏ Р°Р±СЃС†РёСЃСЃРѕР№ С‚РѕС‡РєРё Рњ, С‡РёСЃР»Рѕ Сѓ – РѕСЂРґРёРЅР°С‚РѕР№ СЌС‚РѕР№ Р¶Рµ С‚РѕС‡РєРё. РЎРёРјРІРѕР» Рњ(С…; Сѓ) РѕР±РѕР·РЅР°С‡Р°РµС‚, С‡С‚Рѕ С‚РѕС‡РєР° Рњ РёРјРµРµС‚ Р°Р±СЃС†РёСЃСЃРѕР№ С‡РёСЃР»Рѕ С…, Р° РѕСЂРґРёРЅР°С‚РѕР№ С‡РёСЃР»Рѕ Сѓ.

РћСЃСЊ РћСѓ СЂР°Р·РґРµР»СЏРµС‚ РІСЃСЋ РїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚СЊ РЅР° РґРІРµ РїРѕР»СѓРїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё; С‚Р° РёР· РЅРёС…, РєРѕС‚РѕСЂР°СЏ СЂР°СЃРїРѕР»РѕР¶РµРЅР° РІ РїРѕР»РѕР¶РёС‚РµР»СЊРЅРѕРј РЅР°РїСЂР°РІР»РµРЅРёРё РѕСЃРё РћС…, РЅР°Р·С‹РІР°РµС‚СЃСЏ РїСЂР°РІРѕР№, РґСЂСѓРіР°СЏ – Р»РµРІРѕР№. РўРѕС‡РЅРѕ С‚Р°Рє Р¶Рµ РѕСЃСЊ РћСѓ СЂР°Р·РґРµР»СЏРµС‚ РїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚СЊ РЅР° РґРІРµ РїРѕР»СѓРїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё; С‚Р° РёР· РЅРёС…, РєРѕС‚РѕСЂР°СЏ СЂР°СЃРїРѕР»РѕР¶РµРЅР° РІ РїРѕР»РѕР¶РёС‚РµР»СЊРЅРѕРј РЅР°РїСЂР°РІР»РµРЅРёРё РѕСЃРё РћСѓ, РЅР°Р·С‹РІР°РµС‚СЃСЏ РІРµСЂС…РЅРµР№, РґСЂСѓРіР°СЏ РЅРёР¶РЅРµР№.

РћР±Рµ РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚РЅС‹Рµ РѕСЃРё РІРјРµСЃС‚Рµ СЂР°Р·РґРµР»СЏСЋС‚ РїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚СЊ РЅР° С‡РµС‚С‹СЂРµ С‡РµС‚РІРµСЂС‚Рё, РєРѕС‚РѕСЂС‹Рµ РЅСѓРјРµСЂСѓСЋС‚ РїРѕ СЃР»РµРґСѓСЋС‰РµРјСѓ РїСЂР°РІРёР»Сѓ: РїРµСЂРІРѕР№ РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚РЅРѕР№ С‡РµС‚РІРµСЂС‚СЊСЋ РЅР°Р·С‹РІР°РµС‚СЃСЏ С‚Р°, РєРѕС‚РѕСЂР°СЏ Р»РµР¶РёС‚ РѕРґРЅРѕРІСЂРµРјРµРЅРЅРѕ РІ РїСЂР°РІРѕР№ Рё РІ РІРµСЂС…РЅРµР№ РїРѕР»СѓРїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё, РІС‚РѕСЂРѕР№ – Р»РµР¶Р°С‰Р°СЏ РІ Р»РµРІРѕР№ Рё РІ РІРµСЂС…РЅРµР№ РїРѕР»СѓРїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё, С‚СЂРµС‚СЊРµР№ – Р»РµР¶Р°С‰Р°СЏ РІ Р»РµРІРѕР№ Рё РІ РЅРёР¶РЅРµР№ РїРѕР»СѓРїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё, С‡РµС‚РІРµСЂС‚РѕР№ – Р»РµР¶Р°С‰Р°СЏ РІ РїСЂР°РІРѕР№ Рё РІ РЅРёР¶РЅРµР№ РїРѕР»СѓРїР»РѕСЃРєРѕСЃС‚Рё.

РџРѕСЃС‚СЂРѕРёС‚СЊ С‚РѕС‡РєРё Рђ(2; 3), Р’(-5; 1), РЎ(-2; -3), D(0, 3); E(-5; 0), F(-1/3; 2/3). 18 РќР°Р№С‚Рё РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ РїСЂРѕРµРєС†РёР№ РЅР° РѕСЃСЊ Р°Р±СЃС†РёСЃСЃ С‚РѕС‡РµРє Рђ (2; 3), B(3; -1), C(-5; 1), D(-3; 2), E(-5; -1). 19 РќР°Р№С‚Рё РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ РїСЂРѕРµРєС†РёСЏ РЅР° РѕСЃСЊ РѕСЂРґРёРЅР°С‚ С‚РѕС‡РµРє Рђ(-3; 2), B(-5; 1), C(3; -2), D(-1; 1), E(-6; -2). 20 РќР°Р№С‚Рё РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ С‚РѕС‡РµРє, СЃРёРјРјРµС‚СЂРёС‡РЅС‹С… РѕС‚РѕСЃРёС‚РµР»СЊРЅРѕ РѕСЃРё РћС… С‚РѕС‡РєР°Рј: 20.1 Рђ(2; 3); 20.2 B(-3; 2); 20.3 C(-1; -1); 20.4 D(-3; -5); 20.5 E(-4; -6); 20.6 F(a, b); 21 РќР°Р№С‚Рё РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ С‚РѕС‡РµРє, СЃРёРјРјРµС‚СЂРёС‡РЅС‹С… РѕС‚РЅРѕСЃРёС‚РµР»СЊ РѕСЃРё РћСѓ С‚РѕС‡РєР°Рј: 21.1 A(-1; 2); 21.2 B(3; -1); 21.3 C(-2; -2); 21.4 D(-2; 5); 21.5 E(3; -5); 21.6 F(a; b); 22 РќР°Р№С‚Рё РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ С‚РѕС‡РµРє СЃРёРјРјРµС‚СЂРёС‡РЅС‹С… РѕС‚РЅРѕСЃРёС‚РµР»СЊРЅРѕ РЅР°С‡Р°Р»Р° РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚ С‚РѕС‡РєР°Рј: 22.1 A(3; 3); 22.2 B(2; -4); 22.3 C(-2; 1); 22.4 D(5; -3); 22.5 E(-5; -4); 22.6 F(a; b); 23 РќР°Р№С‚Рё РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ С‚РѕС‡РµРє, СЃРёРјРјРµС‚СЂРёС‡РЅС‹С… РѕС‚РЅРѕСЃРёС‚РµР»СЊРЅРѕ РЅР°С‡Р°Р»Р° РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚ С‚РѕС‡РєР°Рј: 23.1 A(2; 3); 23.2 B(5; -2); 23.3 C(C(-3; 4); 24 РќР°Р№С‚Рё РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚С‹ С‚РѕС‡РµРє, СЃРёРјРјРµС‚СЂРёС‡РЅС‹С… РѕС‚РЅРѕСЃРёС‚РµР»СЊРЅРѕ Р±РёСЃСЃРµРєС‚СЂРёСЃС‹ РІС‚РѕСЂРѕРіРѕ РєРѕРѕСЂРґРёРЅР°С‚РЅРѕРіРѕ СѓРіР»Р° С‚РѕС‡РєР°Рј: 24.1 A(3; 5); 24.2 B(-4; 3); 24.3 C(7; -2); 25 РћРїСЂРµРґРµР»РёС‚СЊ, РІ РєР°РєРёС… С‡РµС‚РІРµСЂС‚СЏС… РјРѕР¶РµС‚ Р±С‹С‚СЊ СЂР°СЃРїРѕР»РѕР¶РµРЅР° С‚РѕС‡РєР° Рњ(x; y), РµСЃР»Рё: 25.1 xy>0; 25.2 xy 25.3 x-y=0; 25.4 x+y=0; 25.5 x+y>0; 25.6 x+y 25.7 x-y>0; 25.8 x-y

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

Делящая пополам угол линия

Способы построения

С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.

В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

Основные свойства

Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

Отрезки в треугольнике (биссектриса, медиана, высота, средняя линия). ОГЭ. Задание 15