Координатная плоскость – определение расположения точек и фигур

Урок 46 Бесплатно Координатная плоскость

До этого занятия мы обсуждали с вами только прямую и все, что с ней связано.

Сегодня урок посвятим изучению плоскости.

Узнаем, что называют координатной плоскостью и как получить её из обычной плоскости.

Познакомимся с прямоугольной системой координат на плоскости и разберем ее основные характеристики и особенности.

Выясним области применения и использования систем координат в практических целях и в жизни человека.

Научимся пользоваться прямоугольной системой координат на плоскости: определять координаты заданных точек и по заданным координатам точки находить ее положение на координатной плоскости.

Координатная плоскость и ее основные особенности

Представим движение автомобиля по прямолинейному участку дороги.

Любой прямолинейный участок дороги легко представить с помощью координатной прямой.

Координатная прямая позволяет нам связать точки на этой прямой с числом.

Вам уже известно, как из любой прямой получить координатную прямую.

Необходимо на прямой выбрать начало отсчета, задать направление и единичный отрезок (масштаб).

В результате с помощью координатной прямой вы однозначно определите, что конкретной точке на прямой соответствует ее единственное верное значение с соответствующим знаком.

И наоборот, если известна координата точки, то можно определить положение этой точки на координатной прямой.

Таким образом, для указания местоположения точки (в нашем случае автомобиля) на прямой нужна только одна координата на координатной оси.

В жизни часто приходится устанавливать положение точки по нескольким параметрам. В таком случае для однозначного определения положения точки требуется больше информации.

Предположим, купили мы билет на концерт.

Чтобы определить расположение конкретного кресла в зале, в билете указывают адрес места: номер ряда и номер кресла в ряду.

Так как каждому месту ставится в соответствие два числа, то для однозначного определения положения точки нам не будет хватать одной координатной прямой.

Для обозначения числами точного положения точки на плоскости используют математическую модель, которую называют координатной плоскостью.

Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо на этой плоскости задать определенную систему координат.

Существует различные системы координат.

Мы рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.

Прямоугольной системой координат на плоскости называют систему из двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом отсчета и общей масштабной единицей.

Рассмотрим основные составляющие прямоугольной системы координат.

Две перпендикулярные прямые – это координатные оси:

Горизонтальная прямая – ось абсцисс (Ох).

Вертикальная прямая – ось ординат (Оу).

Точка пересечения координатных прямых – это начало координат (начало отсчета), её обозначают точкой О(0).

Единичный отрезок выбирается чаще всего одинаковый для каждой координатной оси.

Направление осей указывается стрелкой, каждая ось подписывается буквой.

Для координатных осей обычно выбирают положительное направление, т.е. «по умолчанию» принято использовать правостороннюю систему координат, в которой за положительное направление осей принимают ось ординат, направленную вверх, и ось абсцисс, направленную вправо.

Если приходится по каким-либо причинам использовать левостороннюю прямоугольную систему координат, то данный факт оговаривают в задаче.

Положение точки на плоскости определяется двумя упорядоченными числами: координатами х и y.

Координату точки по оси Ох называют абсцисса – х.

Координату точки по оси Оу называют ордината – y.

Координату точки на плоскости записывают так:

(х; y), причем обязательно на первом месте в скобках стоит абсцисса точки (х), а на втором – ордината этой точки (y)

Например, координата точки A:

A(2;-1), где

х = 2 (координата точки по оси Ох – абсцисса точки А)

y = –1 (координата точки по оси Оу – ордината точки А)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Чтобы запомнить порядок следования абсциссы и ординаты в записи координаты точки, часто используют такое сравнение:

Представьте, многоэтажный дом, а в нем вашу квартиру.

Чтобы попасть домой, первым делом вам необходимо зайти в нужный подъезд (координата по оси Ох), а затем подняться на нужный этаж (координата по оси Оу).

Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе быть равными нулю.

Если ордината точки равна нулю, то точка лежит на оси Ох.

Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит на оси Оу.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части – координатные четверти (по-другому их называют координатные углы или квадранты).

Нумерация координатных плоскостей ведется против часовой стрелки римскими цифрами I, II, III, IV.

Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит в I координатной четверти.

Если точка имеет отрицательную координату х (х 0), то она лежит во II координатной четверти.

История становления координатной системы уходит в глубину веков (IV век до н.э. – V век н.э.).

Античные ученые, мыслители (астрономы, философы, географы) на протяжении нескольких столетий пытались создать теорию о происхождении окружающего мира и всего мироздания в целом, изобразить известные им моря, океаны, страны в чертежах, а звездное небо на карте.

Благодаря великим умам появилось огромное множество фундаментальных знаний, понятий, представлений.

Появилось представление о Земле как о шаре, о ее расположение на звездном небе; создавались все более совершенные карты и планы, методы определения географических координат; на карту наносились линии широты и долготы, сетка параллелей и меридиан.

Долгое время лишь география и астрономия пользовались данными знаниями.

В XIV веке французский философ, астроном, математик Никола Орем пытался применить метод координат к геометрии.

Одной из самых важных математических работ Орема стал «Трактат о конфигурации качеств».

Именно в этой работе он ввел графическое изображение зависимости одной величины от другой с помощью прямоугольной системы координат, называя широтой и долготой то, что сейчас называют абсциссой и ординатой.

Это нововведение стало отправной точкой создания современного метода координат.

Научному обоснованию прямоугольной системы координат мы обязаны французскому ученому, философу Рене Декарту.

Он обобщил известные на то время знания по этой теме и дал научное истолкование прямоугольной системе координат.

Предложенная им прямоугольная система координат получила его имя, ее стали называть декартовой системой координат.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии.

Создание аналитической геометрии позволило переводить геометрические свойства тел и кривых на алгебраический язык, вместо геометрических построений использовать расчеты; кроме того, стало возможным анализировать геометрические объекты с помощью уравнений.

Развитием координатного метода и аналитической геометрии занимался также современник Рене Декарта, знаменитый французский ученый Пьер Ферма.

Однако все научные труды Ферма были опубликованы только после его смерти

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у , называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х , О у , О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у , тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси О х . Любое действительное число x M равняется единственной точке М , расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если – 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М , расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у . Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки M x на О х , а как проекцию точки M y на О у . Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .

Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у – y M . На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел ( x M , y M ) , называемую ее координатами. Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара ( x M , y M ) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х , О у , О z . Тогда значения этих точек на осях О х , О у , О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х , О у , О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные ( x M , y M , z M ) , которые имеют название координаты точки M , , x M , y M , z M – это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел ( x M , y M , z M ) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Координатная плоскость

Урок 46. Математика 6 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Координатная плоскость”

В повседневной жизни вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты!».

Как вы понимаете эту фразу?

Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, т.е. данные, по которым его можно найти.

Определение

Числа, с помощью которых указывают, где находится некоторый объект, называют его координатами.

С координатами вы уже не раз встречались и в математике. Вы умеете выполнять две операции: отмечать на координатной прямой точку с заданной координатой и, наоборот, определять координату заданной точки. Для этого на прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную координату.

Координата точки указывает, таким образом, её место на координатной прямой.

Возникает вопрос: а можно ли определить местоположение точки на плоскости?

Наверняка, хоть раз в жизни вы играли в такую игру как «Морской бой».

Поле этой игры состоит из квадрата размерами 10 на 10 клеточек. В этом поле изображаются корабли: 1 четырёхклеточный, 2 трёхклеточных, 3 двухклеточных и 4 одноклеточных. При этом между любыми двумя соседними кораблями должен оставаться промежуток не меньше одной клетки.

На экране изображён один из вариантов расположения кораблей. Каждая клеточка квадрата обозначается парой: (буква –число), указанных вдоль нижней и левой сторон квадрата. Например, корабль расположен в клетке (Ж; 4). Суть этой игры найти все корабли соперника первым. При обозначении положения клетки первой указывают её горизонтальную координату, а второй – вертикальную.

Именно в этом и состоит суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта.

Системы координат встречаются в нашей жизни постоянно.

Вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта).

Что нужно знать для того, чтобы найти своё место в кинотеатре? Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым – номер кресла в этом ряду. Значит, чтобы правильно занять своё место в зрительном зале необходимо знать две координаты: ряд и место.

Например, в билете указаны: 3 ряд 2 место. Посмотрите где это место расположено.

Обратите внимание, что при определении местоположения нам необходимо знать две характеристики или два значения.

Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости.

Рене Декарт – французский математик ввёл в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Её называют также «Декартова система координат».

Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости проводят две взаимно перпендикулярные координатные прямые х и у, называемые координатными осями.

Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.

На каждой оси ОX и ОY задаётся положительное направление и выбирается единичный отрезок.

Каждая из координатных осей имеет своё название: горизонтальную ось называют осью абсцисс (или осью х), вертикальную ось называют осью ординат (или осью у). Эти прямые составляют систему координат на плоскости.

Определение

Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.

Оси разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями. Их нумеруют римскими цифрами и против часовой стрелки.

Говорят: первая четверть, вторая четверть, третья четверть и четвертая четверть.

Каждая точка такой плоскости имеет две координаты.

Рассмотрим, как определяется положение точки на координатной плоскости.

Например, у нас есть точка М. И нужно определить её координаты. Для этого проведём перпендикуляр из этой точки на горизонтальную ось или ось абсцисс.

Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М.

В нашем случае, абсцисса точки М 3.

Далее, из этой же точки проведём перпендикуляр до пересечения с вертикальной осью, или осью ординат.

Точка пересечения с осью у называется ординатой точки М.

В нашем случае, ордината точки М 5.

Абсцисса и ордината точки М называются координатами этой точки. Их принято записывать рядом с буквой, обозначающей точку, в круглых скобках. Причем, на первом месте всегда пишется абсцисса, а на втором – ордината.

Читают эту запись так: «точка М с абсциссой 3 и ординатой 5», или «точка М с координатами 3 и 5». Обратите внимание, если переставить координаты местами, то получится совсем другая точка. Например, точка N (5; 3).

Определение

Координаты точки (х;у) на плоскости – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором – ордината (у) этой точки.

Сделаем вывод: координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.

Точки любой прямой, перпендикулярной оси абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.

Например, все точки прямой а имеют абсциссу 4. Все точки оси ординат имеют абсциссу 0, т.е. координаты любой точки оси ординат имеют вид (0; у).

Точки любой прямой, перпендикулярной оси ординат, имеют одну и ту же ординату.

Например, все точки прямой b имеют ординату -3. Все точки оси абсцисс имеют ординату 0, т.е. координаты любой точки оси абсцисс имеют вид (х; 0).

Начало координат – точка О – лежит и на оси абсцисс, и на оси ординат. Значит, её координаты (0; 0).

Построить точку по её координатам можно несколькими способами.

Например, построим точку А (-5; 7).

Первый способ: на оси х находим абсциссу точки А. Она у нас равна -5. Проводим перпендикуляр из этой точки относительно оси ОХ. Далее, на оси у, найдём ординату точки. Она равна 7. Проводим перпендикуляр из этой точки относительно оси ОУ. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.

Второй способ построения точки по заданным координатам. Можно сместиться по оси ОХ влево на 5 единиц, т.к. абсцисса точки – отрицательное число. А затем, параллельно оси ОX вверх на 7 единиц, т.к. ордината точки положительное число. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.

Сделаем ещё один очень важный вывод:

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Задание

Построите на координатной плоскости точки, а затем последовательно соедините их отрезками.

Какая фигура у нас получилась в итоге? Правильно! Это котик.

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

  1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
    точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
    точка F (3, 0).
  3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
  4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
  5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
  6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
  7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

  1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
  2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
  3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

  1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
    перед 4 стоит знак минус.
  2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Математика. 6 класс

Конспект урока

Декартова система координат на плоскости

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • прямоугольная система координат;
  • координатная плоскость;
  • координатная ось, координата точки;
  • изображение точек с действительными координатами на плоскости.

Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.

Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.

Обязательная литература:

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Положительное направление на осях указывается стрелкой.

Точку пересечения осей называют началом координат.

Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.

Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A1, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A2. Координату точки A1 на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A2 на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.

Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).

х – первая координата

у – вторая координата

Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.

Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:

– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;

– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.

То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Алгоритм построения точки на координатной плоскости

Построим точку А(3; 6).

Введём прямоугольную систему координат.

На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).

Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.

Точка их пересечения – искомая точка.

В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.

С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.

D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.

F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.

H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.

O(0; 0) – начальная точка системы координат.

В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.

В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.

В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).

1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;

2) координаты середины отрезка AB.

Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.

Шаг 2. Проводим прямую АВ.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:

Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).

Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).

Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки

(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).

Прямоугольная система координат

Содержание

Иногда в жизни, чтобы найти на плоскости какой-то объект, его описывают двумя значениями. Так каждое место в зале кинотеатра имеет два параметра: ряд и место. Каждая клетка на шахматной доске или при игре в «морской бой» описывается номером строки и буквой, обозначающей столбец.

В математике определение местоположения объекта на плоскости придумали быстро находить с помощью системы координат, образованной двумя прямыми, называемых координатными осями (или осями координат).

Ось координат

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Эти оси имеют общепринятые наименования. А именно, горизонтальную ось именуют осью абсцисс и на письме обозначают $Ох$

Вертикальную ось называют осью ординат и на письме обозначают $Оу$

Оси пересекаются под прямым углом перпендикулярно друг к другу, поэтому такая система координат и называется прямоугольной.

Место пересечения осей координат является началом отсчета. Обычно эту точку обозначают буквой $О$ и называют началом координат. Ее называют еще иногда нулевой точкой.

На каждой оси выбирается единичный отрезок, с помощью которого вычисляются координаты объекта. Длиной единичного отрезка может выступать любая единица измерения, но она должна быть одинаковой на каждой из осей. То есть, если единичный отрезок на оси абсцисс задан, например, равным 1 см, то и на оси ординат единичный отрезок тоже должен быть равен одному сантиметру.

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Положительное и отрицательное направление

У осей стрелкой задается положительное направление:

  • так обычно у оси $Ох$ положительным считается направление вправо;
  • у оси $Оу$ положительным считается направление снизу вверх.

В таком случае часть прямой $Ох$ левее точки $О$ будет принимать отрицательные значения. Аналогично часть прямой $Оу$ ниже точки отсчета $О$ будет также принимать отрицательные значения.

Таким образом, все вместе:

  • начало координат $О$
  • пересекающиеся под прямым углом оси $Ох$ и $Оу$ с заданными направлениями
  • заданный единичный отрезок

образуют в математике прямоугольную систему координат, плоскость называют координатной.

Или другими словами:

На письме система координат обозначается $Оху$

Четверти

Осями координат плоскость делится на 4 части, их обозначают римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрант». Другие названия: «координатный угол» или «четверть». Нумерация четвертей принята против часовой стрелки в том порядке, в котором указано на рисунке ниже.

Четверти координатной плоскости

В квадранте I значения $х$ и $у$ будут больше 0 (или положительными). Отсюда следует, что если координаты объекта $х$ и $у$ – числа положительные, то он находится в I квадранте.

В квадранте II значения $у$ будут также положительными, а координаты $х$ будут иметь знак минус.

В квадранте III обе координаты $х$ и $у$ будут иметь отрицательные значения.

В последнем IV квадранте значение $х$ будет положительным, а $у$ отрицательным.

Немного из истории

В латинском языке слово «координаты» получилось из двух других: co – «совместно» и ordinatus – «определенный», «упорядоченный».

Впервые необходимость нахождения координат объектов возникла в географии и астрономии. Для этого использовали широту и долготу, определяющие расположение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. Таким образом начали вычислять координаты точек еще в 14 веке. Но упорядочил и систематизировал все знания в 17 веке французский математик по имени Рене Декарт. Поэтому прямоугольную систему координат также называют еще и «декартовой».

Координатная плоскость

Презентация к уроку

Тип урока: урок закрепления и применения знаний, умений, навыков

Цели:

  • Образовательные: повторить основные понятия и определения по теме; обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Координатная плоскость”; вырабатывать умения и навыки в построении и нахождении точек на координатной плоскости по заданным координатам; проверить ЗУН учащихся в ходе выполнения самостоятельной работы.
  • Развивающие: развивать познавательный интерес к предмету за счет вовлечения в игру; развивать логическое мышление, внимание, культуру математической речи; творческие способности; расширять кругозор.
  • Воспитательные: самостоятельность; ответственное отношение к труду; аккуратность и внимательность при работе с чертежами; воспитывать чувства само- и взаимоуважения.

Задачи: обобщить и систематизировать сведения и прямоугольной системе координат; отрабатывать умение определять координаты точки, строить точки по заданным координатам; воспитывать самостоятельность, аккуратность, точность выполнения заданий; чувство коллективизма; развивать логическое мышление, память, внимание, культуру речи

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят ученики в ходе урока: закрепят и актуализируют знания, умения и навыки в построении координатных осей, в нахождении точки по заданным координатам, в построении точки по заданным координатам.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска (если есть) презентация PowerPoint, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки с изображением смайликов для рефлексии.

Мотивация: презентация, в урок включены игровые моменты.

Важно: в данной презентации используется макроса DragAndDrop. Чтобы он работал, нужно его включить. Для этого делаем следующее: режим показа слайдов/выскакивает окно: Оповещение системы безопасности – макрос/щелкаем мышкой на Включить содержимое и щелкаем ОК. Макрос включен.

План:

  1. Организационный момент.
  2. Устная работа
  3. Решение задач
  4. Физкультминутка
  5. Решение задач (продолжение)
  6. Самостоятельная работа
  7. Итог урока
  8. Домашнее задание
  9. Рефлексия

1. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас завершающий урок по теме “Координатная плоскость” и на этом уроке с помощью различных игр мы еще раз вспомним все основные понятия по данной теме, а так же повторим и закрепим построение и нахождение точек на координатной плоскости. Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.

Для начала поработаем устно.

2. Устная работа

Разгадайте кроссворд (слайд 4)

Чтобы вспомнить все основные понятия разгадаем кроссворд.

  1. Как располагаются координатные прямые Х и У на плоскости? (перпендикулярно)
  2. Координатную прямую Х называют ось….(абсцисс)
  3. Координатную прямую У называют ось….(ординат)
  4. На сколько четвертей делят координатные прямые Х и У плоскость? (четыре)
  5. Под каким углом пересекаются координатные прямые? (прямым)
  6. Как называется точка пересечения координатных прямых? (началом)
  7. Как называют пару чисел, определяющих положение точки на плоскости? (координаты)
  8. Сколько чисел нужно указать, чтобы задать положение точки на координатной плоскости? (две)

(Кроссворд анимированный, сделан с помощью автофигур, поэтому чтобы он работал нужно нажать на любую из цифр, в произвольном порядке – появиться вопрос, после прочтения вопроса еще раз нажать на эту же цифру – в сетке кроссворда появиться ответ).

Игра “Кукарямба” (слайд 6)

Давайте поиграем в игру “Кукарямба”. Правила игры: на координатной плоскости отмечены точки, я показываю на точку, вы называете ее координату. Если координаты точки названы правильно – точка исчезает, если координаты точки названы неверно – появляются две новые точки. Задача – убрать все точки.

(Слайд работает так: если щелкнуть по точке на плоскости, то она исчезнет; если щелкнуть по точке на верху, то она переместится, еще один щелчок по этой же точке – исчезнет. Даже если ребята часто ошибаются совсем не обязательно, чтобы все точки слайда были убраны, достаточно поиграть 3-5 минут. Это слайд можно скопировать в отдельную презентацию и использовать и на других уроках в качестве повторения темы “Координатная плоскость”, для этого можно просто переставить точки и стрелки перемещения в другие места плоскости – и новая игра готова).

Расположите точки по координатным четвертям” (слайд 8)

Ребята, вам нужно расставить точки в свои координатные четверти. Вы делитесь на четыре варианта (по рядам). Первый вариант ищет точки первой четверти, второй вариант точки второй четверти, третий вариант – третья четверть и четвертый вариант – четвертая четверть. Выходите к доске по одному и перемещаете свои точки по местам.

(На этом слайде работает макроса DragAndDrop. Если в классе есть интерактивная доска, то точки можно перетаскивать с помощью маркера, если доски нет, то точки перетаскиваются с помощью мышки. Для этого нужно щелкнуть левой кнопкой мышки по точке и переместить её в нужное место и еще раз щелкнуть левой кнопкой мышки – точка остается на том месте, в какое вы её переместили. Внимание: 1) презентацию после работы не сохранять иначе точки останутся там, куда вы их переместите. 2) три точки не двигаются (6;0),(0;-5),(0;3)).

Вопросы классу:

  • Почему три точки остались на месте? (они лежать не в четвертях, а на осях)
  • На каких осях лежат эти точки?

Расшифруйте фразу (слайд 10,11)

Ребята, координатной плоскости отмечены все буквы русского алфавита. Вам нужно для координат , записанных в таблице, найти соответствующие буквы и составить фразу.

(Задание выполняется комментирование с места по цепочке)

Что получилось? (“Мыслю, значит существую”)

Давайте проверим (продемонстрировать с помощью анимации). Все верно. Эти слова принадлежат Рене Декарту французскому математику, философу, физику. Годы жизни (1596-1650).

Историческая справка. Именно он в 1637 году придумал систему координат, которой пользуются во все мире, и теперь умеем пользоваться и мы. В честь Рене Декарта прямоугольную систему координат называют еще – Декартовой системой координат. Но это не единственное открытие Рене Декарта. В математике он ввел прямоугольную систему координат, переменную величину, способ записи математических формул, который используется до сих пор. В оптике открыл закон преломления света, объяснил явление радуги. В физиологии обратил внимание на важнейшее значение кровообращения. Огромное влияние оказала философия Декарта: он разработал метод решения научных задач, основанный на интуиции и дедукции.

(Этот слайд, убрав анимацию. можно использовать и на других урока как повторение данной темы. Так как на плоскости отмечены все буквы алфавита, то можно зашифровывать любые слова, пословицы, поговорки, фразы и наоборот зашифровывать.)

Рисуем по координатам (слайд 13,14,15,16)

Следующее задание, ребята, вы будете делать самостоятельно. На слайде записаны координаты точек, вам нужно построить эти точки и последовательно соединить их отрезками. Первые четыре человека с каждого варианта получат оценки.

(На слайде три варианта. Первый вариант для слабых учащихся на оценку “3”, второй и третий варианты на оценки “4” и “5”. После выполнения проверяем с помощью слайдов 14, 15, 16)

Ссылка на основную публикацию