Арктангенс- определение, свойства и формулы

Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(– x ) = arctg(–tg arctg x ) = arctg(tg(–arctg x )) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(– x ) = arcctg(–ctg arcctg x ) = arcctg(ctg(π–arcctg x )) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x .

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

Формулы

Формулы суммы и разности

при

при 0,;xy > 1″ style=”width:122px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position:-138px -570px”>

при 1″ style=”width:122px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position:-261px -570px”>

при -1″ style=”width:76px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position:-550px -570px”>

при 0,;xy

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

Производные высших порядков:
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x ) = x
ctg(arcctg x ) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x ) = x при
arcctg(ctg x ) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-07-2014 Изменено: 23-12-2018

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

• sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; – 1 ;
• cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; – 1 ;
• t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ – ∞ ; + ∞ ;
• c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ – ∞ ; + ∞ .

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа – это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от – 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

sin ( a r c sin a ) = a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos – 3 2 = – 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка – 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса – от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи – ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

• a r c sin – a = – a r c sin a , a ∈ – 1 , 1 ;
• a r c cos – a = π – a r c cos a , a ∈ – 1 , 1 ;
• a r c t g – a = – a r c t g a , a ∈ – ∞ , + ∞ ;
• a r c c t g – a = π – a r c c t g a , a ∈ – ∞ , + ∞ .

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При – 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin – a = – a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( – a ) – это угол (число) в пределах от – π 2 до π 2 , синус которого равен – a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что – a r c sin a лежит в тех же пределах от – π 2 до π 2 , что и a r c sin ( – a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( – a r c sin a ) = – a .

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство – π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на – 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ – a r c sin a ≥ – π 2 . Переписав его, получим – π 2 ≤ – a r c sin a ≤ π 2 .

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( – a r c sin a ) = – a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin – a r c sin a = – sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin – a r c sin a = – sin a r c sin a = – a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что a r c cos – a = π – a r c cos a при a ∈ – 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на – 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ – a r c cos a ≥ – π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π – a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π – a r c cos a ≤ π .

Теперь покажем, что cos π – arccos a = – a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π – arccos a = – cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cos π – arccos a = – cos ( a r c cos a ) = – a .

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства – возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

a r c sin – 1 2 = – a r c sin 1 2 a r c cos – 5 5 7 = π – arccos 5 5 7 arctg – 1 = – arctg 1 arcctg ( – 3 ) = π – arcctg 3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ – 1 , 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ – ∞ , + ∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 – a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус – это число (угол), лежащее в пределах от – π 2 до π 2 , синус которого равен a .

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на – 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:

0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ – arccos a ≥ – π π 2 ≥ π 2 – arccos a ≥ – π 2 – π 2 ≤ π 2 – arccos a ≤ π 2

Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 – a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sin π 2 – a r c cos a = cos a r c cos a = a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что a r c sin 6 – 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.

a r c sin 6 – 2 2 + a r c cos 6 – 2 2 = π 2 a r c cos 6 – 2 2 = π 2 – a r c sin 6 – 2 2 a r c cos 6 – 2 2 = π 2 – π 12 = 5 π 12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

• a r c sin ( sin α ) = α , – π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
• a r c t g ( t g α ) = α , – π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при – π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Обозначим sin α через a . a – число, лежащее в интервале от – 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при – π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от – π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия – π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = a, ctgx = a. Формулы преобразования аркфункций

Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения (xinmathbb) – см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения (xinmathbb) – см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций – см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арктангенса

В записи (y=tgx) аргумент x – это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от (-infty;) до (+infty). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (tgx=1), то (x=fracpi4+pi k, kinmathbb); если (tgx=0), то (x=pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: (-fracpi2leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).

п.2. График и свойства функции y=arctgx

1. Область определения (xinmathbb) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (-fracpi2leq arctgxleq fracpi2) .
Область значений (yinleft(-fracpi2; fracpi2right))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_=fracpi2 text<при> xrightarrow +infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_=-fracpi2 text<при> xrightarrow -infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=pmfracpi2) .
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: (arctg(-x)=-arctg(x)) .

п.3. Уравнение tgx=a

п.4. Понятие арккотангенса

По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: (0lt xlt pi) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

1. Область определения (xinmathbb) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (0lt arcctgxlt pi) .
Область значений (yin(0;pi))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_=pi text<при> xrightarrow -infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_=0 text<при> xrightarrow +infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=0 text<и> y=pi) .
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.

п.6. Уравнение ctgx=a

2) (ctgx=2)
(x=arcctg2+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac<1><2>)
Получаем ответ: (x=arctgfrac12+pi k)
Очевидно, что (arcctg 2=arctgfrac<1><2>) (см. ниже формулы для аркфункций).

п.7. Формулы преобразования аркфункций

п.8. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arctgx) область определения (xinmathbb), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=tgx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) (главная ветвь) и область значений (yinmathbb).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

Пример 3. Вычислите:
a) (2arccosleft(-frac12right)+arctg(-1)+arcsinfrac><2>=2cdotfrac<2pi><3>-fracpi4+fracpi4=frac<4pi><3>)
б) (arcsin1-arccosfrac><2>-arctg(sqrt<-3>)=arcsin1-fracpi3+fracpi3=arcsin1)
в) (arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4)
г) (5-2arccos0+arcsinfrac><2>+3arccosfrac><2>=5-2cdotfracpi2+fracpi4+3cdotfracpi4=5)

Пример 4. Постройте графики функций:
(a) y=arccosleft(frac<1>right)+arccosleft(-frac<1>right))
Сумма арккосинусов (arccosa+arccos(-a)=pi), где (-1leq aleq 1).
Получаем систему для определения ОДЗ: begin -1leq frac<1>leq 1Rightarrow 0leq frac<1>+1leq 2Rightarrow begin fracgeq 0\ fracleq 2 end Rightarrow begin fracgeq 0\ frac<-x+1>leq 0 end Rightarrow begin fracgeq 0\ fracgeq 0 end Rightarrow\ Rightarrow left[ begin begin xgt 0\ x+1geq 0\ x-1geq 0 end \ begin xlt 0\ x+1leq 0\ x-1leq 0 end end right. Rightarrow left[ begin begin xgt 0\ xgeq 1 end \ begin xlt 0\ xleq -1 end end right. Rightarrow xleq -1cup xgeq 1 end Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1leqfrac<1>leq 1Leftrightarrow |frac<1>|leq 1Leftrightarrow |x|geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме (xnotin(-1;1).) $$ y=arccosleft(frac<1>right)+arccosleft(-frac<1>right)Leftrightarrow begin y=pi\ xnotin (-1;1) end $$ Строим график:

(б) y=arcctg(sqrt)+arcctg(-sqrt))
Сумма арккотангенсов (arcctga+arcctg(-a)=pi), где (ainmathbb)
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: (xgeq 0)
$$ y=arcctgleft(sqrtright)+arcctgleft(-sqrtright)Leftrightarrow begin y=pi\ xgeq 0 end $$ Строим график:

Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctgleft(fracpi4right), arcsinleft(fracpi4right), arctg1 $$

Пример 6*. Решите уравнения:

a) (arccosx=arctgx)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: (-1leq xleq 1)
Арккосинус ограничен (0leq arccosxleq pi), арктангенс (-fracpi2leq arctgxltfracpi2)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arctgxlt fracpi2) и (0leq arccos xlt fracpi2) $$ arccosx=arctgxLeftrightarrow begin x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq arctgxltfracpi2\ 0leq arccosxltfracpi2 end Leftrightarrow begin x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq x\ 0lt xleq 1 end Leftrightarrow begin x=cos(arctgx)\ 0lt xlt 1 end $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для (cos(arctgx)).
Выведем её. Пуcть (arctgx=varphi). Тогда (x=tgvarphi) и $$ cos(arctgx)=cosvarphi=sqrt<1+tg^2varphi>>=sqrt<1+x^2>> $$ Получаем уравнение: $$ x=sqrt<1+x^2>>Rightarrow x^2=frac<1><1+x^2>Rightarrow x^2(1+x^2)=1Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5, x^2=frac<-1pmsqrt<5>> <2>$$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень (x^2=frac-1><2>)
Откуда (x=pmsqrt-1><2>>)
По условию (0lt xlt 1). Получаем (x=sqrt-1><2>>)
Ответ: (sqrt-1><2>>)

б) (arccos^2x+arcsin^2x=frac<5pi^2><36>)
Используем формулу для суммы: (arccosx+arcsinx=fracpi2)
Получаем: begin arccos^2x+left(fracpi2-arccosxright)^2=frac<5pi^2><36>\ arccos^2x+frac<4>-pi arccosx+arccos^2x=frac<5pi^2><36>\ 2arccos^2x-pi arccosx+frac<9>=0\ D=(-pi)^2-4cdot 2cdot frac<9>=pi^2-frac89pi^2=frac<9>\ arccosx=frac<4>Rightarrow left[ begin arccosx_1=fracpi6\ arccosx_2=fracpi3 end right. Rightarrow left[ begin x_1=cosfracpi6=frac><2>\ x_2=cosfracpi3=frac12 end right. end Ответ: (left><2>right>)

в) (arcsinfrac><2>=arcctgsqrt>)
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: ( -1leq frac><2>leq 1)
Арксинус ограничен (-fracpi2leq arcsinfrac><2>leqfracpi2), арккотангенс (0leq arcctgsqrt>ltpi)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arcctgsqrt>ltfracpi2) и (0leq arcsinfrac><2>ltfracpi2). begin arcsinfrac><2>=arcctgsqrt>Leftrightarrow begin frac><2>=sinleft(arcctgsqrt>right)\ -1leqfrac><2>leq 1\ 0leq arcsinfrac><2>ltfracpi2\ 0leq arcctgsqrt>ltfracpi2 end Leftrightarrow\ Leftrightarrow begin frac><2>=sinleft(arcctgsqrt>right)\ -1leqfrac><2>leq 1\ 0leq frac><2>lt 1\ 0leq sqrt> end Leftrightarrow begin frac><2>=sinleft(arcctgsqrt>right)\ 0leq frac><4>lt 1\ frac<4>geq 0 end end Для ОДЗ получаем: $$ begin 0leq 3x+2lt 4\ x+1gt 0 end Rightarrow begin -2leq 3x lt 2\ xgt -1 end Rightarrow begin -frac23leq x lt frac23\ xgt -1 end Rightarrow -frac23leq xltfrac23 $$ ОДЗ: (-frac23leq xlt frac23)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть (arcctgx=varphi Rightarrow x=ctgvarphi)
Тогда (sin(arcctgx)=sinvarphi=sqrt<1+ctg^2varphi>>=sqrt<1+x^2>>)
Правая часть уравнения: $$ sinleft(arcctgsqrt>right)= sqrt<1+left(sqrt>right)>>= sqrt<1+frac<2>>>=sqrt> $$ Подставляем: begin frac><2>=sqrt>Rightarrow frac<3x+2><4>=fracRightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)Rightarrow\ Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4Rightarrow 3x^2+7x+2=0\ D=49-4cdot 3cdot 2=25\ x=frac<-7pm5><6>Rightarrow left[ begin x_1=-2 – text< не подходит по ОДЗ>\ x_2=-frac13 end right. end Ответ: (-frac13)

Как найти арктангенс: формула, функция, свойства

• Понятие арктангенса
• Получение функции арктангенса
• График арктангенса
• Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Понятие арктангенса

Арктангенс для числа х является значением угла у, которое определено в радианах и характеризуется (operatorname y=x,quad –<2>>)

Область определения для функции (y=operatorname x) распространяется на всю прямую с числами, не прерывается и обладает ограничениями. Такая функция строго возрастает на графике.

(operatorname ,(operatorname ,x)=x, если при xin ,)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(D(operatorname ,x)=(-infty ;infty )) (область определения),

Функция arctg обладает следующими свойствами, которые полезно использовать при расчете:

• (operatorname (-x)=-operatorname xqquad ) (функция не является четной);
• (operatorname x=arcsin >>>) ;
• (operatorname x=arccos <>>>>,) если (x > 0) ;
• (operatorname x=operatorname >) ;
• (operatorname x=-ioperatorname ) , при (operatorname ) в виде обратного гиперболического тангенса, гиперболического ареатангенса.
• (operatorname x=ioperatorname ) .

Получение функции арктангенса

Предположим, что имеется некая функция:

Заметим, что эта функция имеет вид кусочно-монотонной. Такая ситуация наблюдается на любом участке области определения. В результате нельзя назвать функцией:

Это связано с нарушением условий однозначности. Проанализируем участок, где функция является возрастающей и имеет каждое значение лишь однажды:

Отрезок (y=operatorname ,x) отличается тем, что здесь функция является монотонно возрастающей со всеми своими значениями, которые она принимает только однажды.

Можно сделать вывод, что на отрезке (left(-<2>>;<2>>right)) имеется обратная функция (y=operatorname ,x ) с графиком, симметричным графическому изображению (y=operatorname ,x) на участке (left(-<2>>;<2>>right)) по отношению к прямой (y=x) .

График арктангенса

Рассматриваемая аркфункция характеризуется определенным графиком. Изобразить арктангенс на координатной плоскости можно с помощью преображения графика, которому соответствует тангенс. В процессе требуется переместить между собой оси абсцисс и ординат.

Необходимо избавиться от многозначности. Для этого следует ввести ограничение на множество из значений функции в виде интервала: (- frac2 leqslant y leqslant frac2) . На этом отрезке функция характеризуется монотонностью. Такой интервал носит название основного значения арктангенса.

График функции (y=operatorname ,x) (можно построить в программе Эксель при вводе нужной формулы):

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Обратными функциями в тригонометрии называют такие функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.

Существует несколько основных аркфункций:

• арксинус, (arcsin x) , представляет собой угол, синус которого определен, как (х) ;
• арккосинус, (arccos x) , в виде угла с косинусом (х) ;
• арктангенс, (operatorname x) , или () ;
• арккотангенс, (operatorname x) , или (operatorname x) , или (operatorname x) ;
• арксеканс, (operatorname x) ;
• арккосеканс, (operatorname x) , или (operatorname x) .

Обратные тригонометрические функции обладают особыми наименованиями. Названия аркфункций формулируют путем приписывания к наименованию функции приставки «арк-».

Функции в тригонометрии отличаются периодичностью. В связи с этим обратные к ним функции обладают множеством значений в виде углов (дуг), для которых конкретная прямая функция определена соответствующим числом.

Под функцией (arcsin 1/2) понимается множество углов (left ( frac<6>, frac<5 pi><6>, frac<13 pi><6>, frac<17 pi> <6>dots

(30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ).)

Если посчитать, синус перечисленных углов соответствует 1/2.

Если рассмотреть множество значений обратной тригонометрической функции, то можно получить ключевые ее значения. Данные значения подразумевают при упоминании арксинуса, арккосинуса и других аркфункций.

( -1leqslant alpha leqslant 1.)

Тогда каждое из решений уравнения (sin x=alpha) допустимо записать, как:

(x=(-1)^arcsin alpha +pi n,

Здесь -1 записано в n степени. Значения функций можно не считать, а посмотреть в таблице.

При нахождении ответов в процессе решения задач, в условии которых присутствуют такие функции, как: синус, косинус, тангенс, котангенс угла, обратные им функции — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс — определяют угол. В том случае, когда речь в задании идет о тригонометрических функциях числа, то аркфункции также будут определяться в виде числа.

Арксинус числа а (in [−1, 1]) является числом (tin [−frac<2>) , (frac<2>]) с синусом, равным а.

Арккосинус числа (а in [−1, 1]) является числом (tin [0, pi]) с косинусом, равным а.

Арктангенс числа а (in (−infty, infty)) является числом (tin(-frac<2>) , (frac<2>)) с тангенсом, равным а.

Арккотангенс числа а (in (−infty, infty)) является числом (tin (0, pi)) с котангенсом, равным а. В данном случае используют знак бесконечности, когда речь идет об определении а.

Представим, что имеется число, арксинус которого равен (-frac<1><2>) . Тогда нужным числом является (-frac<6>) со знаком минус. В результате:

В данном случае:

Важно различать задачи, где аркфункции являются числами, а где — углами. Данное условие можно понять по контексту. Если указана обратная тригонометрическая функция а без каких-либо уточнений, то ее допускается определять, как аркфункцию а в виде угла или числа.

В том случае, когда в записи обратной тригонометрической функции присутствуют градусы с минутами или радианы, к примеру, (arcsin a+10°) , подразумевается вычисление данной аркфункции в виде угла с определенной градусной мерой или в радианах.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №6. Обратные тригонометрические функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Рассмотреть свойства арксинуса и арккосинуса;
• Рассмотреть свойства арктангенса и арккотангенса;
• Объяснять расположение промежутков монотонности;
• Определять наибольшее и наименьшее значение функции;
• Применять знания при решении задач.

Глоссарий по теме

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений

Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений .

Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Обратные тригонометрические функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, косинус какого угла равен ? Первое, что хочется ответить, что это угол 60° или , но вспомнив о периоде косинуса, понимаем, что углов, при которых косинус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для синусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью. Для внесения точности для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно.

Объяснение нового материала

Рассмотрим свойства функции y=arcsin x и построим ее график.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное – , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Вот график арккосинуса:

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график – уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

– Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция – общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Все про арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Арксинус

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

1. 
2. Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = – arcsin x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. На всей своей протяженности график возрастает.

Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а – это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos – [0, π].
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 – 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = – arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a – принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = – 1/a. При a = 0, x будет равен 1.